Przestrzenie i przekształcenia liniowe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 77
Wyświetleń: 707
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Przestrzenie i przekształcenia liniowe - strona 1 Przestrzenie i przekształcenia liniowe - strona 2 Przestrzenie i przekształcenia liniowe - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli  U, W  są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni  V  to zachodzi wzór: dim( U  +  W  ) = dim  U  + dim  W −  dim( U ∩ W  ) Rzeczywiście  U ∩ W  jest podprzetrzenią przestrzeni  U  i  W  , a więc  U ∩ W jest skończenie wymiarowa. Przestrzeń  U ∩ W  posiada, więc skończoną bazę v 1 , . . . , vk . Zgodnie z twierdzeniem Steinitza bazę tą można uzupełnić do baz przestrzeni  U  i przestrzeni  W  . Istnieją, więc wektory  u 1 , . . . , un  i  w 1 , . . . , wm , że: v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un  jest bazą przestrzeni  U  , v 1 , . . . , vk, w 1 , . . . , wm  jest bazą przestrzeni  W  . Do dowodu powyższej równości wystarczy sprawdzić, że układ v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un, w 1 , . . . , wm  jest bazą przestrzeni  U  +  W  . Jeśli  x ∈ U  +  W  to  x  =  u  +  w , gdzie  u ∈ U  ,  w ∈ W  , wtedy  u  jest liniową kombinacją wektorów  v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un , a  w  liniową kombinacją wekto- rów  v 1 , . . . , vk, w 1 , . . . , wm , a zatem wektor  x  jest liniową kombinacją wekto- rów  v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un, w 1 , . . . , wm . Sprawdzimy teraz liniową niezależność. Rozważmy równanie: α 1 v 1 +  . . .  +  αkvk  +  β 1 u 1 +  . . .  +  βnun  +  γ 1 w 1 +  . . .  +  γmwm  =  0 ponieważ  wi ∈ U  to  γ 1 =  . . .  =  γm  = 0 i nasza równość przybiera postać: α 1 v 1 +  . . .  +  αkvk  +  β 1 u 1 +  . . .  +  βnun  =  0 ale wektory  v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un  są liniowo niezależne, więc  α 1 =  . . .  =  αk  = β 1 =  . . .  =  βm  = 0 i udowodniliśmy liniową niezależność. Przykład  Wyznaczymy bazy i wymiary przestrzeni  U, V, U ∩V, U  + V  , gdzie: U  = Lin { (1 ,  2 ,  1 ,  1) ,  (0 ,  1 ,  1 , − 1) ,  (1 ,  3 ,  2 ,  0) ,  (2 ,  6 ,  4 ,  0) } V  = Lin { (1 ,  1 ,  0 ,  0) ,  (0 ,  0 ,  1 ,  1) ,  (2 ,  3 ,  2 ,  2) } Przestrzeń  U  składa się z wszystkich wektorów, które można zapisać w posta- ci  α (1 ,  2 ,  1 ,  1)+ β (0 ,  1 ,  1 , − 1)+ γ (1 ,  2 ,  2 ,  0)+ δ (2 ,  5 ,  4 ,  0), dla  α, β, γ, δ ∈  R. Jeśli jeden z wektorów jest liniowo zależny od pozostałych to można go z zestawu wektorów generujących  U  wykreślić. Zatem znalezienie bazy tej przestrzeni jest równoważne ze znalezieniem maksymalnego zbioru liniowo niezależnego w zbiorze wektorów  { (1 ,  2 ,  1 ,  1) ,  (0 ,  1 ,  1 , − 1) ,  (1 ,  2 ,  2 ,  0) ,  (2 ,  5 ,  4 ,  0) } . Zestawmy nasze wektory w macierz:

(…)

… . Wtedy każdy
wektor v ∈ V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej
wektorów b1 , . . . , bn , zatem istnieją skalary k1 , . . . , kn , że v = k1 v1 +. . .+kn vn .
Skalary k1 , . . . , kn nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy B i
piszemy v = (k1 , . . . , kn )B .
2
Przekształcenia liniowe
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K.
Przekształcenie:
f :V →W
nazywać będziemy przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń
W jeśli:
∀v1 , v2 ∈ V f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ),
oraz
∀v ∈ V ∀k ∈ K f (kv) = kf (v)
Prostą konsekwencją tej definicji jest fakt, że f (0) = 0. Rzeczywiście f (0) =
f (0 + 0) = f (0) + f (0) stąd wynika, że f (0) = 0.
Przykład Dla dowolnych przestrzeni liniowych U , V nad tym samym ciałem
przekształcenie Θ(v) = 0 jest przekształceniem liniowym. Przekształcenie to
nazywamy przekształceniem zerowym.
Zadanie Udowodnić, że funkcja:
f : R 3 → R2
f (x, y, z) = (x + y, x − y)
jest przekształceniem liniowym.
Przykład Funkcja Φ : R[x] → R[x], dana wzorem Φ(g) = g jest przekształceniem liniowym.
Przekształcenie liniowe nazywane jest również homomorfizmem przestrzeni liniowych. Przekształcenie liniowe, które przekształca przestrzeń V w siebie nazywać będziemy operatorem liniowym. Jeśli przekształcenie liniowe
przestrzeni liniowych jest również bijekcją to nazywać je będziemy izomorfizmem przestrzeni liniowych.
Zadanie Udowodnić, że funkcja f : R3 → R3 , zadana wzorem f (x, y, z) =
(x + y + z, y + z, z) jest izomorfizmem przestrzeni R3 na siebie.
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, wtedy przekształcenie
liniowe, które przekształca V w K (jako jednowymiarową przestrzeń) nazywamy funkcjonałem liniowym
Przykład Funkcja f : R3 → R dana wzorem f (x, y, z) = x + y + z jest
przykładem funkconału liniowego.
Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K to przez
Hom(V, W ) oznaczać będziemy zbiór wszystkich przekształceń liniowych V
w W.
3
Zadanie Wyznaczyć Hom(R, R).
Rozwiązanie Weźmy f ∈ Hom(R, R) i przyjmijmy…
… wektorów {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 1, −1), (1, 2, 2, 0), (2, 5, 4, 0)}. Zestawmy
nasze wektory w macierz:





1
0
1
2
2
1
3
6
1
1
1 −1 


2
0 
4
0

1
wtedy operacje elementarne na wierszach tej macierzy odpowiadają operacjom na wektorach.





1
0
1
2
2
1
3
6
1 1
1 −1  w3 −w1 


 −→ 
2 0  w4 −2w1 
4 0


1
0
0
0
2
1
1
2
1 1
1 −1  w4 −2w2 


 −→ 
1 −1  w3 −w2 
2 −2


1
0
0
0…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz