Wykład 5 Niech f : V → W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektoro- wych. Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V , których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W . Jądro przekształcenia oznaczamy przez Ker( f ), czyli mamy: Ker( f ) = {v ∈ V ; f ( v ) = 0 } Obrazem przekształcenia f nazywamy zbiór wszystkich obrazów wektorów z przestrzeni V i oznaczamy go przez Im( f ), a więc: Im( f ) = {f ( v ); v ∈ V } Zgodnie z tym co było powiedziane na jednym z poprzednich wykładów Ker( f ) jest podprzestrzenią przestrzeni V , a Im( f ) jest podprzestrzenią prze- strzeni W . Jeśli V jest podprzestrzenią skończonego wymiaru to zachodzi związek: dim V = dim Ker( f ) + dim Im( f ) Rzeczywiście jeśli v 1 , v 2 , . . . , vk jest bazą przestrzeni Ker( f ) to można ją uzu- pełnić do bazy przestrzeni V , zatem istnieje baza przestrzeni V o postaci v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un . Wystarczy więc udowodnić, że wymiar obrazu jest rów- ny n . Pokażemy, że bazą obrazu są wektory f ( u 1) , . . . , f ( un ). Jeśli u należy do obrazu to istnieje wektor v ∈ V , że u = f ( v ) element v można zapisać jako liniową kombinację wektorów bazowych: v = α 1 v 1 + . . . + αkvk + β 1 u 1 + . . . + βnun stąd mamy: u = f ( v ) = α 1 f ( v 1) + . . . + αkf ( vk ) + β 1 f ( u 1) + . . . + βnf ( un ) i ponieważ wektory vi należą do jądra to f ( ui ) = 0 i otrzymujemy u = f ( v ) = β 1 f ( u 1) + . . . + βnf ( un ) , a to oznacza, że Im( f ) = Lin( f ( u 1) , . . . , f ( un )). Musimy pokazać jeszcze, że wektory f ( u 1) , . . . , f ( un ) są liniowo niezależne. Rozpatrzmy równanie: k 1 f ( u 1) + . . . + knf ( un ) = 0 z własności przekształcenia liniowego mamy: f ( k 1 u 1 + . . . + knun ) = 0 , a to oznacza, że k 1 u 1 + . . . + knun ∈ Ker( f ) ponieważ wektory u 1 , . . . , un są 1 niezależne od wektorów generujących jądro to nasza liniowa kombinacja na- leży do jądra tylko wtedy gdy k 1 = . . . = kn = 0, a więc wektory są liniowo niezależne. Pokażemy teraz, że różnowartościowość przekształcenia liniowego zależy od jądra tego przekształcenia. Twierdzenie 1 Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wek- torowych. Przekształcenie f jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy Ker ( f ) = { 0 }. Dowód ( ⇒ ) Ponieważ f ( 0 ) = 0 to z różnowarotściowości wynika, że jeśli
(…)
… przekształcenia liniowego wynika, że f (u−v) = 0,
a więc u − v ∈ Ker(f ) = {0} zatem u − v = 0 i mamy u = v.
Przekształcenie liniowe będziemy nazywać nieosobliwym jeśli Ker(f ) =
{0}.
Twierdzenie 2 Niech V będzie przestrzenią liniową o skończonym wymiarze
i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(i) f jest bijekcją,
(ii) f jest suriekcją,
(iii) f jest iniekcją.
Dowód Ponieważ V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową i f przekształca V w V więc jądro i obraz są podprzestrzeniami V i jest spełniona
udowodniona wcześniej równość:
dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f )
Oczywiście z faktu, że f jest bijekcją wynika, że f jest suriekcją.
Jeśli f jest suriekcją to Im(f ) = V , a więc dim Im(f ) = dim V i z powyższego wzoru otrzymujemy, że dim Ker(f ) = 0…
… w bazie B jest
równa:
Gf = P −1 Mf P
Przykład Dana jest macierz przekształcenia f : R3 → R3 w bazie kanonicznej:
1 0 2
1 2 3
0 3 1
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0).
Niech w zbiorze Mn (K) będzie określona następująca relacja jeśli M, N ∈
Mn (K) to
M ∼ N ⇐⇒ ∃P M = P −1 N P
wtedy ta relacja jest relacją równoważności, a klasa abstrakcji [M…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)