Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Nasza ocena:

5
Pobrań: 63
Wyświetleń: 2877
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Jądro i obraz przekształcenia liniowego - strona 1 Jądro i obraz przekształcenia liniowego - strona 2 Jądro i obraz przekształcenia liniowego - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 5 Niech  f  :  V → W  będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektoro- wych. Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z  V  , których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni  W  . Jądro przekształcenia oznaczamy przez Ker( f  ), czyli mamy: Ker( f  ) =  {v ∈ V  ; f  ( v ) =  0 } Obrazem przekształcenia  f  nazywamy zbiór wszystkich obrazów wektorów z przestrzeni  V  i oznaczamy go przez Im( f  ), a więc: Im( f  ) =  {f  ( v ); v ∈ V } Zgodnie z tym co było powiedziane na jednym z poprzednich wykładów Ker( f  ) jest podprzestrzenią przestrzeni  V  , a Im( f  ) jest podprzestrzenią prze- strzeni  W  . Jeśli  V  jest podprzestrzenią skończonego wymiaru to zachodzi związek: dim  V  = dim Ker( f  ) + dim Im( f  ) Rzeczywiście jeśli  v 1 , v 2 , . . . , vk  jest bazą przestrzeni Ker( f  ) to można ją uzu- pełnić do bazy przestrzeni  V  , zatem istnieje baza przestrzeni  V  o postaci v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un . Wystarczy więc udowodnić, że wymiar obrazu jest rów- ny  n . Pokażemy, że bazą obrazu są wektory  f  ( u 1) , . . . , f  ( un ). Jeśli  u  należy do obrazu to istnieje wektor  v ∈ V  , że  u  =  f  ( v ) element  v  można zapisać jako liniową kombinację wektorów bazowych: v  =  α 1 v 1 +  . . .  +  αkvk  +  β 1 u 1 +  . . .  +  βnun stąd mamy: u  =  f  ( v ) =  α 1 f  ( v 1) +  . . .  +  αkf  ( vk ) +  β 1 f  ( u 1) +  . . .  +  βnf  ( un ) i ponieważ wektory  vi  należą do jądra to  f  ( ui ) =  0  i otrzymujemy u  =  f  ( v ) =  β 1 f  ( u 1) +  . . .  +  βnf  ( un ) , a to oznacza, że Im( f  ) = Lin( f  ( u 1) , . . . , f  ( un )). Musimy pokazać jeszcze, że wektory  f  ( u 1) , . . . , f  ( un ) są liniowo niezależne. Rozpatrzmy równanie: k 1 f  ( u 1) +  . . .  +  knf  ( un ) =  0 z własności przekształcenia liniowego mamy:  f  ( k 1 u 1 +  . . .  +  knun ) =  0 , a to oznacza, że  k 1 u 1 +  . . .  +  knun ∈  Ker( f  ) ponieważ wektory  u 1 , . . . , un  są 1 niezależne od wektorów generujących jądro to nasza liniowa kombinacja na- leży do jądra tylko wtedy gdy  k 1 =  . . .  =  kn  = 0, a więc wektory są liniowo niezależne. Pokażemy teraz, że różnowartościowość przekształcenia liniowego zależy od jądra tego przekształcenia. Twierdzenie 1  Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wek- torowych. Przekształcenie f jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy Ker ( f  ) =  { 0 }. Dowód ( ⇒ ) Ponieważ  f  ( 0 ) =  0  to z różnowarotściowości wynika, że jeśli 

(…)

… przekształcenia liniowego wynika, że f (u−v) = 0,
a więc u − v ∈ Ker(f ) = {0} zatem u − v = 0 i mamy u = v.
Przekształcenie liniowe będziemy nazywać nieosobliwym jeśli Ker(f ) =
{0}.
Twierdzenie 2 Niech V będzie przestrzenią liniową o skończonym wymiarze
i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(i) f jest bijekcją,
(ii) f jest suriekcją,
(iii) f jest iniekcją.
Dowód Ponieważ V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową i f przekształca V w V więc jądro i obraz są podprzestrzeniami V i jest spełniona
udowodniona wcześniej równość:
dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f )
Oczywiście z faktu, że f jest bijekcją wynika, że f jest suriekcją.
Jeśli f jest suriekcją to Im(f ) = V , a więc dim Im(f ) = dim V i z powyższego wzoru otrzymujemy, że dim Ker(f ) = 0…
… w bazie B jest
równa:
Gf = P −1 Mf P
Przykład Dana jest macierz przekształcenia f : R3 → R3 w bazie kanonicznej:


1 0 2


 1 2 3 
0 3 1
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0).
Niech w zbiorze Mn (K) będzie określona następująca relacja jeśli M, N ∈
Mn (K) to
M ∼ N ⇐⇒ ∃P M = P −1 N P
wtedy ta relacja jest relacją równoważności, a klasa abstrakcji [M…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz