Wykład 5
Niech f : V → W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych. Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V ,
których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W . Jądro przekształcenia
oznaczamy przez Ker(f ), czyli mamy:
Ker(f ) = {v ∈ V ;
f (v) = 0}
Obrazem przekształcenia f nazywamy zbiór wszystkich obrazów wektorów z
przestrzeni V i oznaczamy go przez Im(f ), a więc:
Im(f ) = {f (v); v ∈ V }
Zgodnie z tym co było powiedziane na jednym z poprzednich wykładów
Ker(f ) jest podprzestrzenią przestrzeni V , a Im(f ) jest podprzestrzenią przestrzeni W . Jeśli V jest podprzestrzenią skończonego wymiaru to zachodzi
związek:
dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f )
Rzeczywiście jeśli v1 , v2 , . . . , vk jest bazą przestrzeni Ker(f ) to można ją uzupełnić do bazy przestrzeni V , zatem istnieje baza przestrzeni V o postaci
v1 , . . . , vk , u1 , . . . , un . Wystarczy więc udowodnić, że wymiar obrazu jest równy n. Pokażemy, że bazą obrazu są wektory f (u1 ), . . . , f (un ). Jeśli u należy
do obrazu to istnieje wektor v ∈ V , że u = f (v) element v można zapisać
jako liniową kombinację wektorów bazowych:
v = α1 v1 + . . . + αk vk + β1 u1 + . . . + βn un
stąd mamy:
u = f (v) = α1 f (v1 ) + . . . + αk f (vk ) + β1 f (u1 ) + . . . + βn f (un )
i ponieważ wektory vi należą do jądra to f (ui ) = 0 i otrzymujemy
u = f (v) = β1 f (u1 ) + . . . + βn f (un ),
a to oznacza, że Im(f ) = Lin(f (u1 ), . . . , f (un )). Musimy pokazać jeszcze, że
wektory f (u1 ), . . . , f (un ) są liniowo niezależne. Rozpatrzmy równanie:
k1 f (u1 ) + . . . + kn f (un ) = 0
z własności przekształcenia liniowego mamy: f (k1 u1 + . . . + kn un ) = 0, a
to oznacza, że k1 u1 + . . . + kn un ∈ Ker(f ) ponieważ wektory u1 , . . . , un są
1
niezależne od wektorów generujących jądro to nasza liniowa kombinacja należy do jądra tylko wtedy gdy k1 = . . . = kn = 0, a więc wektory są liniowo
niezależne.
Pokażemy teraz, że różnowartościowość przekształcenia liniowego zależy
od jądra tego przekształcenia.
Twierdzenie 1 Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych. Przekształcenie f jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy
Ker(f ) = {0}.
Dowód
(⇒) Ponieważ f (0) = 0 to z różnowarotściowości wynika, że jeśli f (v) = 0
to v = 0, a więc jądro składa się tylko z wektora zerowego.
(⇐) Musimy udowodnić, że jeśli f (v) = f (u) to v = u. Rzeczywiście jeśli
f (v) = f (u) to z własności przekształcenia liniowego wynika, że f (u−v) = 0,
a więc u − v ∈ Ker(f ) = {0} zatem u − v = 0 i mamy u = v.
Przekształcenie liniowe będziemy nazywać nieosobliwym jeśli Ker(f ) =
{0}.
Twierdzenie 2 Niech V będzie przestrzenią liniową o skończonym wymiarze
i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(i) f jest bijekcją,
(ii) f jest suriekcją,
(iii) f jest iniekcją.
Dowód Ponieważ V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową i f przekształca V w V więc jądro i obraz są podprzestrzeniami V i jest
(…)
… jest
grupą.
Niech V będzie przestrzenią liniową z bazą A = {v1 , v2 , . . . , vn }, a W
niech będzie przestrzenią liniową z bazą B = {w1 , w2 , . . . , wm } i niech f
będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w W wtedy obraz każdego
vi da się zapisać jako kombinacja liniowa bazy przestrzeni W :
f (v1 ) = k11 w1 + k21 w2 + . . . + km1 wm
f (v2 ) = k12 w1 + k22 w2 + . . . + km2 wm
.
.
.
f (vn ) = k1n w1…
… w bazie B jest
równa:
Gf = P −1 Mf P
Przykład Dana jest macierz przekształcenia f : R3 → R3 w bazie kanonicznej:
1 0 2
1 2 3
0 3 1
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0).
Niech w zbiorze Mn (K) będzie określona następująca relacja jeśli M, N ∈
Mn (K) to
M ∼ N ⇐⇒ ∃P M = P −1 N P
wtedy ta relacja jest relacją równoważności, a klasa abstrakcji [M…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)