To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Jądro i obraz przekształcenia liniowego
Jeżeli
f :V → W
jest przekształceniem liniowym, to zbiór
Ker f
= {v ∈V : f (v) = 0}
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V , a zbiór
Im f
= { f (v) : v ∈V }
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej W .
Zbiór Ker f nazywamy jądrem przekształcenia f , a zbiór Im f nazywamy obrazem
przekształcenia f .
f
V W Ker f
Im f
0
Związek między wymiarami jądra i obrazu
Jeżeli
f :V → W
jest przekształceniem liniowym, to
dim V = dim Ker f + dim Im f
(tzn. wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu)
Związki jądra i obrazu z macierzą przekształcenia liniowego
Niech
f :V → W będzie przekształceniem liniowym, a A - macierzą przekształcenia f (w
dowolnych bazach). Wtedy
dim Im f
= rz( A)
(tzn. wymiar obrazu jest równy rzędowi macierzy przekształcenia)
f jest przekształceniem ,,na'' (suriekcją) ⇔
rz( A) = dimW
f (V ) = W
⇔ dim Im f
= dimW ⇔
f jest przekształceniem różnowartościowym (iniekcją) ⇔ Ker f = {0} ⇔
dim Ker f = 0
⇔ rz( A) = dimV
f jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) ⇔ Ker f = {0} i
f (V ) = W
⇔ dim Ker f = 0 i dim Im f
= dimW
⇔ rz( A) = dimV = dimW
.
0
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)