To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie (endomorfizmem przestrzeni V ). Wtedy
Skalar λ ∈ K
nazywamy wartością własną przekształcenia f , jeżeli istnieje niezerowy
wektor v ∈V
taki, że
f (v) = λv .
Każdy niezerowy wektor v ∈V
taki, że
f (v) = λv , nazywamy wektorem własnym
przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej λ .
Związek wartości i wektorów własnych z macierzą przekształcenia
Niech f :V → V
będzie przekształceniem liniowym, a A - jego macierzą w bazie B . Wtedy
skalar λ jest wartością własną przekształcenia f ⇔
A − λI = 0
(wielomian
wA (λ) =
A − λ I
nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A , a równanie
wA (λ) = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A );
wektor v jest wektorem własnym przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej
λ ⇔ współrzędne
układu równań
[x1, x2 ,…, xn ]
wektora v w bazie B są niezerowym rozwiązaniem
x1 0
( A − λ I ) x2 = 0 .
xn
0
Własności wektorów własnych
Niech
f :V → V
będzie przekształceniem liniowym.
Jeśli λ jest wartością własną przekształcenia f , to zbiór
Wλ = {v ∈V : f (v) = λv}
jest podprzestrzenią przestrzeni V (tzw. przestrzeń wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ ). Ponadto dimWλ = dimV − rz( A − λ I ) .
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym przekształcenia f są liniowo niezależne.
Przekształcenie f jest diagonalizowalne (tzn. w pewnej bazie przestrzeni V macierz przekształcenia f jest diagonalna) ⇔ istnieje baza przestrzeni V złożona z wektorów własnych przekształcenia f ⇔ suma wymiarów wszystkich przestrzeni własnych
odpowiadających poszczególnym wartościom własnym przekształcenia f jest równa
dimV .
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)