Układy równań liniowych (2)

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 658
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Układy równań liniowych (2) - strona 1 Układy równań liniowych (2) - strona 2 Układy równań liniowych (2) - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 15 Układy równań liniowych Niech  K  będzie ciałem i niech  α 1 , α 2 , . . . , αn, β ∈ K . Równanie: α 1 x 1 +  α 2 x 2 +  · · ·  +  αnxn  =  β z niewiadomymi  x 1 , x 2 , . . . , xn  nazywamy  równaniem liniowym . Układ:          a 11 x 1 +  a 12 x 2 +  . . .  +  a 1 nxn  =  b 1 a 21 x 1 +  a 22 x 2 +  . . .  +  a 2 nxn  =  b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am 1 x 1 +  am 2 x 2 +  . . .  +  amnxn  =  bm (1) nazywamy układem  m  równań liniowych z  n  niewiadomymi. Rozwiązaniem układu nazywamy każdy ciąg elementów ( a 1 , a 2 , . . . , an )  ∈ K n , które podsta- wione za zmienne  x 1 , x 2 , . . . , xn  spełniają każde z równań. Układ (1) możemy zapisać w innej, macierzowej, postaci:      a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . am 1  am 2  . . . amn      ·      x 1 x 2 . . . xm      =      b 1 b 2 . . . bm      wtedy macierz: A  =      a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . am 1  am 2  . . . amn      nazywamy macierzą współczynników układu, jej elementy nazywamy współ- czynnikami, a macierz: B  =      b 1 b 2 . . . bm      kolumną wyrazów wolnych. Przyjmując: X  =      x 1 x 2 . . . xm      nasz układ zapiszemy, w postaci: A · X  =  B 1 Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy układ ma tyle samo zmiennych co niewiadomych, to znaczy gdy macierz współczynników  A  jest kwadratowa. Układ  n  równań z  n  niewiadomymi:          a 11 x 1 +  a 12 x 2 +  . . .  +  a 1 nxn  =  b 1 a 21 x 1 +  a 22 x 2 +  . . .  +  a 2 nxn  =  b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an 1 x 1 +  an 2 x 2 +  . . .  +  annxn  =  bn (2) nazywamy  układem Cramera  1 wtedy i tylko wtedy gdy det  A  = 0, gdzie A  = [ aij ] n×n  jest macierzą współczynników tego układu. Jeśli  A  = [ A 1 , . . . , Ai, . . . , An ] jest macierzą współczynników układu, a  B jest kolumną wyrazów wolnych to przez  A ( i ) oznaczać będziemy macierz [ A 1 , . . . , B, . . . , An ], czyli  A ( i ) oznacza macierz, która powstała z macierzy A  przez zastąpienie  i -tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.

(…)

… stronie do macierzy jednostkowej, a to co pojawi się po drugiej stronie
jest poszukiwaną macierzą odwrotną. Proces, którym tu się posługujemy nazywa się procesem (albo algorytmem) Gaussa-Jordana (różnica ze zwykłym
algorytmem Gaussa polega na tym, że tu nie zatrzymujemy się na postaci
trójkątnej ale proces prowadzimy dalej redukując wyrazy nad przekątną).
Przykład Odwrócimy, wykorzystując proces Gaussa…
… + 2x3 = 4


x1 − 2x2 + 2x3 = 1

Wykorzystanie do odwracania macierzy
Niech A = [aij ]n×n będzie macierzą kwadratową stopnia n, chcemy wy-
znaczyć (o ile istnieje) macierz odwrotną do A to znaczy macierz B taką,
że AB = I. Niech Bi będzie i-tą kolumną macierzy B. Żeby wyznaczyć B
trzeba rozwiązać n układów równań:
A · Bi = Xi
gdzie Xi jest i-tą kolumną macierzy jednostkowej, i ∈ {1, . . . , n…
… jednostkowej, a to co pojawi się po drugiej stronie
jest poszukiwaną macierzą odwrotną. Proces, którym tu się posługujemy na-
zywa się procesem (albo algorytmem) Gaussa-Jordana (różnica ze zwykłym
algorytmem Gaussa polega na tym, że tu nie zatrzymujemy się na postaci
trójkątnej ale proces prowadzimy dalej redukując wyrazy nad przekątną).
Przykład Odwrócimy, wykorzystując proces Gaussa-Jordana, macierz:
0 1 1…
… (jest to rozwinięcie wyznacznika macierzy A(i) względem i-tej kolumny).
Wzory występujące w powyższym równaniu noszą nazwę wzorów Cramera.
Przykład Rozwiążemy metodą Cramera układ:

 2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 7



x1 − x2 + x3 − x4 = −2
 x1 + x2 + x3 + x4 = 10



4x1 + 3x2 − 2x3 − x4 = 0
jest to układ Cramera, ponieważ:
2
2 −1
1
2
2 −1
1 −1
1 −1
3
1
0
det A =
=
1
1
1
1
−1 −1
2
4
3 −2 −1
6
5 −3
1
3
1
0
0
2 = 12…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz