Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1 , α 2 , . . . , αn, β ∈ K . Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + αnxn = β z niewiadomymi x 1 , x 2 , . . . , xn nazywamy równaniem liniowym . Układ: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am 1 x 1 + am 2 x 2 + . . . + amnxn = bm (1) nazywamy układem m równań liniowych z n niewiadomymi. Rozwiązaniem układu nazywamy każdy ciąg elementów ( a 1 , a 2 , . . . , an ) ∈ K n , które podsta- wione za zmienne x 1 , x 2 , . . . , xn spełniają każde z równań. Układ (1) możemy zapisać w innej, macierzowej, postaci: a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . am 1 am 2 . . . amn · x 1 x 2 . . . xm = b 1 b 2 . . . bm wtedy macierz: A = a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . am 1 am 2 . . . amn nazywamy macierzą współczynników układu, jej elementy nazywamy współ- czynnikami, a macierz: B = b 1 b 2 . . . bm kolumną wyrazów wolnych. Przyjmując: X = x 1 x 2 . . . xm nasz układ zapiszemy, w postaci: A · X = B 1 Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy układ ma tyle samo zmiennych co niewiadomych, to znaczy gdy macierz współczynników A jest kwadratowa. Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an 1 x 1 + an 2 x 2 + . . . + annxn = bn (2) nazywamy układem Cramera 1 wtedy i tylko wtedy gdy det A = 0, gdzie A = [ aij ] n×n jest macierzą współczynników tego układu. Jeśli A = [ A 1 , . . . , Ai, . . . , An ] jest macierzą współczynników układu, a B jest kolumną wyrazów wolnych to przez A ( i ) oznaczać będziemy macierz [ A 1 , . . . , B, . . . , An ], czyli A ( i ) oznacza macierz, która powstała z macierzy A przez zastąpienie i -tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.
(…)
… stronie do macierzy jednostkowej, a to co pojawi się po drugiej stronie
jest poszukiwaną macierzą odwrotną. Proces, którym tu się posługujemy nazywa się procesem (albo algorytmem) Gaussa-Jordana (różnica ze zwykłym
algorytmem Gaussa polega na tym, że tu nie zatrzymujemy się na postaci
trójkątnej ale proces prowadzimy dalej redukując wyrazy nad przekątną).
Przykład Odwrócimy, wykorzystując proces Gaussa…
… + 2x3 = 4
x1 − 2x2 + 2x3 = 1
Wykorzystanie do odwracania macierzy
Niech A = [aij ]n×n będzie macierzą kwadratową stopnia n, chcemy wy-
znaczyć (o ile istnieje) macierz odwrotną do A to znaczy macierz B taką,
że AB = I. Niech Bi będzie i-tą kolumną macierzy B. Żeby wyznaczyć B
trzeba rozwiązać n układów równań:
A · Bi = Xi
gdzie Xi jest i-tą kolumną macierzy jednostkowej, i ∈ {1, . . . , n…
… jednostkowej, a to co pojawi się po drugiej stronie
jest poszukiwaną macierzą odwrotną. Proces, którym tu się posługujemy na-
zywa się procesem (albo algorytmem) Gaussa-Jordana (różnica ze zwykłym
algorytmem Gaussa polega na tym, że tu nie zatrzymujemy się na postaci
trójkątnej ale proces prowadzimy dalej redukując wyrazy nad przekątną).
Przykład Odwrócimy, wykorzystując proces Gaussa-Jordana, macierz:
0 1 1…
… (jest to rozwinięcie wyznacznika macierzy A(i) względem i-tej kolumny).
Wzory występujące w powyższym równaniu noszą nazwę wzorów Cramera.
Przykład Rozwiążemy metodą Cramera układ:
2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 7
x1 − x2 + x3 − x4 = −2
x1 + x2 + x3 + x4 = 10
4x1 + 3x2 − 2x3 − x4 = 0
jest to układ Cramera, ponieważ:
2
2 −1
1
2
2 −1
1 −1
1 −1
3
1
0
det A =
=
1
1
1
1
−1 −1
2
4
3 −2 −1
6
5 −3
1
3
1
0
0
2 = 12…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)