Całki Wielokrotne 1. Znaleźć granice całkowania całki ¨ D f (x, y) dx dy, jeśli: (a) D jest trójkątem o wierzchołkach O = (0, 0), A = (4, 2), B = (−4, 2), (b) D = {(x, y) : y2 ≥ x2 ∧ y ≤ 4 − x2}. 2. Zmienić kolejność całkowania w całkach iterowanych: (a) 2 ´ −6 2−x ´ x2 4 f (x, y) dy dx, (b) 2 ´ 0 √ 2x ´ √ 2x−x2 f (x, y) dy dx, (c) 1 ´ −7 2+ √ 7−6y−y2 ´ 2− √ 7−6y−y2 f (x, y) dx dy, (d) e ´ 1 ln x ´ 0 f (x, y) dy dx, (e) 1 ´ 0 √ 3−y2 ´ y2 2 f (x, y) dx dy, (f) π ´ 0 sin x ´ 0 f (x, y) dy dx, 3. Obliczyć ¨ D x y dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = ex, x = 0, y = e. 4. Obliczyć ¨ D y x dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = ln x, y = 0, x = e. 5. Obliczyć ¨ D 1 x dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = e, y = ln x, y = 0. 6. Obliczyć ¨ D 1 y dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = e, y = ex, x = 0. 7. Obliczyć ¨ D dx dy (2 + x2 + y2) 2 , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x 2 + y2 = 2y oraz x2 + y2 = 6y. 8. Obliczyć ¨ D 1 − x2 − y2 1 + x2 + y2 dx dy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0}. 9. Stosując uogólnione współrzędne biegunowe obliczyć całkę ¨ D c 1 − x2 a2 − y2 b2 dx dy, gdzie D = (x, y) : x2 a2 + y2 b2 ≤ 1 , (a, b, c 0). 10. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: y = x2, y + z = 1, z = 0. 1 11. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = x2 + y2, z = 2 + √ x2 + y2, x = 0 (x ≥ 0). 12. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 5 − x2 − y2, z = 2 − √ x2 + y2, y = 0 (y ≥ 0). 13. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x2 + y2 + z2 = 2, z = x2 + y2. 14. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x2 + y2 + z2 = 8, z = x2 + y2. 15. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: y2 + z2 = 2y, x2 + y2 + z2 = 4. 16. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 4 − x2 − y2, z = √ x2 + y2 oraz x2 + y2 = 1. 17. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x2 + y2 + z2 = 4a2 oraz x2 + y2 = 2ax. 18. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem x2 a2 + y2 b2 = 1 z paraboloidy z = x2 2a + y2 2b . 19. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem z2 = 2py, (p 0) ze stożka z2 =
(…)
… + y 2 , jeśli
gęstość tej bryły w dowolnym jej punkcie jest równa odległości tego punktu od osi OZ.
28. Obliczyć środek ciężkości półkuli (jednorodnej) ograniczonej sferą x2 + y 2 + z 2 = a2 i płaszczyzną x = 0, (x ≥ 0).
Wskazówka!
Zakładając, że ρ (x, y, z) to gęstość bryły w punkcie (x, y, z):
1. Masę bryły wyraża wzór:
˚
M=
ρ (x, y, z) dx dy dz.
V
2. Współrzędne środka ciężkości bryły S = (α, β, γ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)