Matematyka - strona 5

Zestaw 1 1. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = x − y x + y istnieją granice iterowane w (0, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(0,0) f (x, y) . 2. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = (x − 1) y2 (x − 1) 2 + y4 istnieją granice iterowane w (1, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(1,0) f (x, y) . 3....

Zestaw 3 1. Obliczy¢ ¤ D x y dx dy , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = ex, x = 0, y = e. 2. Obliczy¢ ¤ D y x dx dy , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = ln x, y = 0, x = e. 3. Obliczy¢ ¤ D 1 x dx dy , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = e, y = ln x, y = 0. 4...

Zestaw 4 Rozwi¡za¢ równania ró»niczkowe: 1. sin 2y y + 2x + 1 = 0, 2. y − 2xex2 (y + 1) = 0, y(0) = 0, 3. 2x2 y + 1 + 4y2 = 0, 4. y = e2x+y+3 2x + y + 3 − 2 , 5. y = x (2x + y) − 2 ln 2 (2x + y) ln 2 (2x + y) , 6. y = sin (3x − y) + cos (3x − y) cos (3x − y) , 7. y = y x + y x , 8. y = y2 + xy + x2...

Zestaw 1 1. Rozstrzygnąć prawdziwość zdań: (a) ∀x  0 ∃a ∈ R : x 2  0 ∀y  0 : x = y ⇒ x+y 2 √ xy, (c) ∃x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (f) ∀x ∈ R ∃∀ ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2. 2. Podać zaprzeczenie zdania 1(f). Cz...

Zestaw 2 1. Zbada¢, czy (R \ {0} , ∗) jest grup¡, je±li ∀a, b ∈ R \ {0}: a ∗ b = ab 2 . 2. Znale¹¢ a, b ∈ R takie, »e (a) a (2 + 3i) + b (4 − 5i) = 6 − 2i, (b) a 2 − 3i + b 3 + 2i = 1 , (c) (3 − i) a2 − (3 + 2i) a − (1 − i) b = 13 − 10i. 3. Udowodni¢, »e: (a) ∀z1, z2 ∈ C: |z1 · z2| |z1| · |z2| oraz...

1 Algebra z geometria analityczna  MAP1015, MAP1016, MAP1017 Zadania dodatkowe (utrwalajace) Zadania z list dodatkowych zawieraja glownie zadania rachunkowe, ulatwiajace utrwalenie materialu poznanego na wykladzie. Sa one o roznym stopniu trudnosci. Do zadan dolaczone sa odpowiedzi. Niektore z poni...

EGZAMIN Z MATEMATYKI GIK II Nazwisko i imię Suma 1. Zbadać ciągłość funkcji f (x, y) = x2 (y−2) 2 x2 (y−2) 2+(x−y+2)4 , (x, y) = (0, 2) 1 , (x, y) = (0, 2) Czy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (0, 2) ? 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcj...

Zestaw 2 1. Dana jest funkcja f :R x → y = |x2 − 1| oraz zbiory A = 1, ∞) , B = (−∞, −1) , C = −1, 1 . Znaleźć zbiory: f (A) , f (B) , f (C) , f (B ∪ C) , f −1 (A) , f −1 (C). 2. Zbadać parzystość funkcji: (a) f (x) = sin 3x + cos x, (b) g (x) = x 2x + 1 2x − 1 , (c) h (x) = log x − 1 x + 1 . Która...

Zestaw 5 1. Przeksztaªcenie liniowe L : R3 → R2 okre±lone jest wzorem L (x, y, z) = (2x, y + z) . Znale¹¢ macierz tego przeksztaªcenia, je±li w R3 i w R2 zadano odpowiednio bazy (a1, a2, a3) i (b1, b2) , gdzie a1 = (1, 2, 0) , a2 = (1, 1, 0) , a3 = (0, 0, 1) , b1 = (1, 2) , b2 = (0, 1) . 2. Niech M...

Zestaw 6 1. Znale¹¢ punkt B symetryczny do punktu A (2, −1, 3) wzgl¦dem prostej l : (x, y, z) = (3t, 5t − 7, 2t + 2) . 2. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi: l1 : r = r1 + t u i l2 : r = r2 + s u, gdzie r1 = [3, 1, −1], r2 = − e1, u = [1, −1, −2] . 3. Wyznaczy¢ równanie ogólne pªaszczyzny przechodz¡...