Matematyka - zestaw 5

Zestaw 5 1. Przeksztaªcenie liniowe L : R3 → R2 okre±lone jest wzorem L (x, y, z) = (2x, y + z) . Znale¹¢ macierz tego przeksztaªcenia, je±li w R3 i w R2 zadano odpowiednio bazy (a1, a2, a3) i (b1, b2) , gdzie a1 = (1, 2, 0) , a2 = (1, 1, 0) , a3 = (0, 0, 1) , b1 = (1, 2) , b2 = (0, 1) . 2. Niech ML = 1 0 2 2 1 0 (macierz przeksztaªcenia liniowego L) Znale¹¢ L (1, 0, 2) , je±li w przestrzeniach wektorowych R3 i R2 przyj¦to bazy jak w poprzednim zadaniu. 3. Rozwa»my przeksztaªcenie L : R4 → R3, L (x, y, z, t) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) . Wyznaczy¢ KerL, Im L oraz ich bazy. Poda¢ dim Im L. 4. Wyznaczy¢ macierz X z równo±ci macierzowej 2 1 3 2 · X · −3 2 5 −3 = −2 4 3 −1 5. Stosuj¡c metod¦ Gaussa dobra¢ warto±¢ parametru α w ten sposób, aby ukªad      x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 2x1 − x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = α maiª rozwi¡zanie. Jaka jest wtedy posta¢ rozwi¡zania ? 6. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy A i B, gdzie A =       1 2 −1 1 5 1 2 1 4 −1 a 0 3 a 4 −1       , B =       a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1       w zale»no±ci od warto±ci parametru a. 7. Rozwi¡za¢ poni»sze ukªady w zale»no±ci od warto±ci wyst¦puj¡cych w nich parametrów a, α, β ∈ R :      x + (a + 1) y = 5 (a + 1) x + 4y = 10 3x + (2a + 1) y = 12 ,      9x + 5y − 8z = 3 αx + 2y + z = −1 x + 3y − 2z = β ,      x + y + z = 1 αx + 2y + 3z = 3 α2x + 4y + 9z = 9 ,      αx + y + βz = 1 αβx + y + z = α αx + βy + z = 1 . ... zobacz całą notatkę