Metody numeryczne - zagadnienia i szczegółowe omówienie.

U kła dy  ró w na lin io w yc h B A X N i b x a N j i j ij = = = = , ,1 1 A a a a a a a a a a a a a N N N N N N N = 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 . . . . . . . . . . X x x x N = 1 2 . . . B b b b N = 1 2 . . . U kła d r ów na lin io w yc h  A X =B , g dz ie  A jes t d an m ac ier z o M  w ier sz ac h i   N  k olu m na ch ,  B – w ek to re m  k olu m no w ym  M  d an yc h l icz b,  X w ek to re m   ko lu m no w ym  N  n iew iad om yc h,  m o e p os iad a nie sk o cz en ie  w iel e  ro zw i za , d ok ład nie  je dn o r oz w i za nie  lu b n ie  po sia da w ca le  ro zw i za (u kła d s prz ec zn y). U kła dy  ró w na lin io w yc h Ist nie je  w iel e m eto d r oz w i zy w an ia  uk ład ów  ró w na lin io w yc h i  d ec yz ja  któ r z n ich  w yb ra , p ow in na  za le e nie  ty lk o o d p os tac i m ac ier zy   A , a le  tak e o d s pe cy fik i z ag ad nie nia , k tó re  re pre ze ntu je  da ny  u kła d r ów na . J e li  na  p rz yk ład  is tn iej e p otr ze ba  w iel ok ro tn eg o r oz w i zy w an ia  uk ład u r ów na prz y r ó ny ch  w art o cia ch  w ek to ra   B ,  to  n ale y z as to so w a m eto d , k tó ra   prz ek sz tał ci  uk ład  d o p ro sts ze j p os tac i, u łat w iaj ce j w yz na cz an ie  da lsz yc h  ro zw i za . N ale y p am i ta , z e i stn iej trz y   prz yc zy ny  w ys t po w an ia  bł dó w  w   nu m ery cz nie  w yz na cz on ym  ro zw i za niu :  -b ł d s po w od ow an y n ied ok ład ny m i w art o cia m i w sp ółc zy nn ik ów  u kła du   ró w na (b ł d w ej cio w y),   -b ł d p ow sta j cy  n a s ku tek  p op ełn ian ia  bł dó w  p od cz as  n um ery cz ne go   w yk on yw an ia  dz iał a ary tm ety cz ny ch  (b ł d z ao kr gle )  -b ł d w yz na cz an ia  ro zw i za

(…)

… zania
nazywamy metod dokładn .
Pomijamy wzory Cramera, schemat Sarrusa itd. Stosuj c metod Cramera nale y obliczy
(n+1) wyznaczników, które wymagaj co najmniej (n+1)! mno e . Jest to wi c metoda
bardzo pracochłonna i dlatego jej si nie stosuje dla n>4.
1) A jest macierz diagonaln .
a11 0 . . 0 x1 b1
0 a22 . . 0 x2 b2
. ⋅ . = . b1 b2
x1 = x2 =
. . . a11 a22
0 0 . . a NN xN bN
itd...
bi
Rozwi zanie…
… jeden z pozostałych trzech
warunków
N
W 2
= max wij
1<i < N
j =1
W <1
N
W = max wij
3 1< j < N
i =1
1, 2 , 3, 4
N N
W 4
= 2
wij
i =1 j =1
Układy równa liniowych - Iteracyjne metody rozwi zywania
układów równa liniowych.
Metoda iteracyjna Jacobiego
- rozkładamy macierz A na sum macierzy diagonalnej D i zerodiagonalnej R
A = D + R = D + WL + WU
Równanie wyj ciowe przybiera wi c posta :
DX + RX = B
DX = − RX + B /⋅ D…
…
układów równa liniowych.
i +1 1 N
X i+1 = WX i + Z i=0, 1, . . . x j = − ( a jk xk − b j )
i
a jj k =1
k≠ j
Modyfikacja metody iteracji prostej by ograniczy liczb wykonywanych
operacji to metoda Gaussa – Seidela. Po i-tej iteracji z pierwszego równania:
1 N 1 N
x1i+1 = − ( a ⋅ x i − b1 ) ale zamiast x2+1 = −
(a21 x1i + a2 j x ij − b2 )
i
a11 j = 2 1 j j a22 j =3
N
1
x2+1 = −
i
(a21 x1i +1 + a2 j x ij…
... zobacz całą notatkę