Ukªady równa«
Denicja 1 Funkcj¦ f : IRn −→ IR okre±lon¡ wzorem
f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn + a0 ,
gdzie a1 , a2 , . . . , an , a0 s¡ staªymi, nazywamy funkcj¡ liniow¡ n zmiennych. Liczby
a1 , a2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami, a liczb¦ a0 wyrazem wolnym.
Przykªad 1 Funkcja f (x) = 2x + 3 jest funkcj¡ liniow¡ jednej zmiennej, a
funkcja f (x, y) = 2x + 4y − 5 jest funkcj¡ liniow¡ dwóch zmiennych.
Denicja 2 Równaniem liniowym o n zmiennych (niewiadomych) nazywamy
równanie otrzymane przez przyrównanie do zera funkcji liniowej n zmiennych:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn + a0 = 0.
Równanie liniowe zapisujemy zwykle w postaci
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
(1)
i nazywamy jednorodnym, gdy b = 0 i niejednorodnycm, gdy b = 0. Liczby
a1 , a2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami równania, a liczb¦ b wyrazem wolnym.
Denicja 3 Równanie (1) po podstawieniu za zmienne x1 , x2 , . . . , xn liczb
c1 , c2 , . . . , cn staje si¦:
1. zdaniem prawdziwym i wtedy mówimy, »e ci¡g (c1 , c2 , . . . , cn ) speªnia równanie (1);
2. zdaniem faªszywym i wtedy mówimy, »e ci¡g (c1 , c2 , . . . , cn ) nie speªnia
równania (1).
Przykªad 2 Niech 3x + 4y + 3z = 5. Wtedy ci¡g (1, −1, 2) speªnia to równanie,
a ci¡g (1, 0, 2) nie speªnia danego równania.
Denicja 4 Rozwi¡zaniem równania (1) nazywamy ka»dy ci¡g liczb rzeczywistych (c1 , c2 , . . . , cn ), który speªnia równanie (1). Poszczególne liczby nazywamy wspóªrz¦dnymi rozwi¡zania.
Denicja 5 Rozwi¡za¢ równanie oznacza poda¢ wszystkie jego rozwi¡zania lub
stwierdzi¢, »e rozwi¡za« nie ma.
Rozwa»my teraz ukªad m równa« o n niewiadomych
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
,
..............................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
1
przy czym liczba równa« m mo»e by¢ mniejsza, równa lub wi¦ksza ni» liczba
niewiadomych n. Wspóªczynniki ukªadu aij i wyrazy wolne bi , gdzie i =
1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n uwa»amy za wiadome liczby rzeczywiste lub zespolone. Liczby te zapisujemy w postaci macierzy:
a11 a12 . . . a1n
b1
a
a22 . . . a2n
B = b2 .
A = 21
...
...
... ... ...
am1 am2 . . . amn
bm
Niech
a11
a21
(A; B) =
...
am1
a12
a22
...
am2
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . amn
b1
b2
.
...
bm
Macierz (A; B) nazywamy macierz¡ uzupeªnion¡, jest to macierz otrzymana z
macierzy A przez dopisanie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych.
Denicja 6 Ukªad równa« liniowych nazywamy:
• rozwi¡zalnym, gdy ma co najmniej jedno rozwi¡zanie;
• nierozwi¡zalnym, czyli sprzecznym, gdy nie ma rozwi¡zania.
Denicja 7 Ukªad równa« liniowych nazywamy:
• oznaczonym, gdy ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie;
• nieoznaczonym, gdy ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
Denicja 8 Przeksztaªceniami elementarnymi ukªadu równa« liniowych nazywamy:
(1) przestawienie dwóch równa« ukªadu;
(2) pomno»enie równania przez liczb¦ ró»n¡ od zera;
(3) pomno»enie pewnego równania przez dowoln¡ liczb¦ ró»n¡ od zera i dodanie
do
(…)
…
...
... 0
gdzie cii = 0 dla i = 1, 2, . . . r, r ≥ 1, r ≤ min{n, m}.
Uwaga 3 W macierzach P i C liczba r ma t¡ sam¡ warto±¢. Dodatkowo za-
uwa»my, »e dziel¡c i-ty wiersz przez cii mo»emy uzyska¢, »e w miejscu cii b¦d¡
jedynki.
Uwaga 4 Je±li r = m, to w macierzach P i C nie ma u doªu wierszy wypeªnionych
zerami. Je±li r = n, to r-ta kolumna jest ostatni¡ kolumn¡.
Przykªad 4 Sprowadzi¢ do postaci normalnej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)