To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy
Niech dana b¦dzie macierz kwadratowa A = [aij ] stopnia n.
Denicja 1 Jednokolumnow¡ macierz
X=
x1
x2
.
.
.
=0
xn
speªniaj¡c¡ równanie
AX = λX
nazywamy wektorem wªasnym macierzy A, a odpowiadaj¡c¡ jej liczb¦ λ warto±ci¡ wªasn¡ tej macierzy.
Aby znale¹¢ wszystkie wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy rozwi¡zujemy nast¦puj¡ce równanie macierzowe:
(A − λE)X = 0.
Denicja 2 Macierz A − λE nazywamy macierz¡ charakterystyczn¡ macierzy
A.
Denicja 3 Równanie det(A − λE) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym i zapisujemy w postaci
a11 − λ
a21
.........
an1
a12
...
a22 − λ . . .
......... ...
an2
...
a1n
a2n
.........
ann − λ
= 0.
Przykªad 1 Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne macierzy
A=
2
1
2
3
.
Przykªad 2 Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne macierzy
A=
3
2
1
4
.
Aby obliczy¢ pierwiastki charakterystyczne rozwi¡»emy równanie charakterystyczne:
3−λ
1
= 0.
2
4−λ
Obliczaj¡c wyznacznik otrzymujemy równanie:
(3 − λ)(4 − λ) − 2 = 0,
1
sk¡d
λ2 − 7λ + 10 = 0.
Zatem pierwiastkami charakterystycznymi s¡:
λ1 = 2 i λ2 = 5.
Znajdziemy teraz wektory wªasne odpowiadaj¡ce tym warto±ciom wªasnym.
• λ = 2. Poniewa» X =
w postaci:
x1
x2
3 1
2 4
, wi¦c równanie AX = λ1 X mo»emy zapisa¢
x1
x2
·
=2
x1
x2
.
Wykonuj¡c mno»enia mamy
3x1 + 2x2
x1 + 4x2
=
2x1
2x2
,
sk¡d otrzymujemy ukªad równa«:
3x1 + 2x2 = 2x1
.
x1 + 4x2 = 2x2
Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stron¦, sk¡d
x1 + 2x2 = 0
.
x1 + 2x2 = 0
Poniewa» obydwa równania s¡ takie same, wi¦c ukªad równa« sprowadza
si¦ do równania
x1 + 2x2 = 0.
Przyjmijmy parametr, »e x2 jest parametrem, czyli t = x2 . Skoro X jest
wektorem niezerowym, wi¦c zakªadamy,»e t = 0. Zatem rozwi¡zaniem
ukªadu jest
x1 = −2t
x2 = t
.
t jest parametrem ró»nym od zera
Wobec tego
X=
−2t
t
,
X=t
−2
1
,
dla t = 0 lub
dla t = 0.
Podsumowuj¡c otrzymali±my rodzin¦ wektorów wªasnych
−2
postaci X = t
dla t = 0 odpowiadaj¡cych warto±ci wªasnej λ = 2.
1
2
• λ = 5. Post¦pujemy tak jak w poprzednim punkcie, wi¦c rozwi¡zujemy
x1
równanie AX = 5X , gdy X =
, zatem:
x2
3 1
2 4
x1
x2
·
=5
x1
x2
.
Po wykonaniu odpowiednich mno»e« mamy
3x1 + 2x2
x1 + 4x2
5x1
5x2
=
,
sk¡d otrzymujemy nast¦puj¡cy ukªad równa«:
3x1 + 2x2 = 5x1
.
x1 + 4x2 = 5x2
Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stron¦, wi¦c
−2x1 + 2x2 = 0
.
x1 − x2 = 0
Podzielmy pierwsze równanie przez −2:
x1 − x2 = 0
,
x1 − x2 = 0
wtedy oczywi±cie obydwa równania s¡ takie same, wi¦c ukªad równa«
sprowadza si¦ do równania
x1 − x2 = 0.
Przyjmijmy, »e x2 jest parametrem, czyli t = x2 . Skoro X jest wektorem
niezerowym, wi¦c zakªadamy, »e t = 0. Zatem rozwi¡zaniem ukªadu jest
x1 = t
x2 = t
.
t jest parametrem ró»nym od zera
Wobec tego
X=
t
t
X=t
1
1
dla t = 0 lub
,
,
dla t = 0. Wobec tego otrzymali±my rodzin¦ wektorów wªasnych postaci
1
X=t
dla t = 0 odpowiadaj¡cych warto±ci wªasnej λ = 5.
1
3
1
3
=
1
3
wektorem wªasnym odpowiadaj¡cym warto±ci
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)