Zad.1 Dane są macierze B i C. Sprawdzić czy macierze BC -1 i CB -1 są przemienne, a następnie obliczyć BC -1 - B -1 C, gdzie , Odp. Są przemienne , BC -1 - B -1 C= Zad. 2 Dla jakich wartości parametrów a, b zachodzi rzA=rzB, gdzie , Odp. Zad. 3 Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie A T XA=B, g...
Grafy Denicja 1 Graf prosty G skªada si¦ z niepustego zbioru sko«czonego V (G), którego elementy b¦dziemy nazywa¢ wierzchoªkami grafu (lub w¦zªami) i z sko«czonego zbiou E(G) ró»nych par nieuporz¡dkowanych ró»nych elementów zbioru V (G), kt...
Rz¡d macierzy Denicja 1 Mówimy, »e macierz a11 a21 A= ... am1 . . . a1n . . . a2n ... ... . . . amn a12 a22 ... am2 jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy ...
Równania Cramera Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczynników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych: ...
Twierdzenie Kroneckera-Cappellego Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i macierzy rozszerzonej (A : B). Niech rz(A) = rz((A : B)) = r. Gdy r równa si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma ...
Ukªady równa« Denicja 1 Funkcj¦ f : IRn −→ IR okre±lon¡ wzorem f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn + a0 , gdzie a1 , a2 , . . . , an , a0 s¡ staªymi, nazywamy funkcj¡ liniow¡ n zmiennych. Liczby a1 , a2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami, a liczb¦ a0 wyrazem wolnym. Przykªa...
Wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy Niech dana b¦dzie macierz kwadratowa A = [aij ] stopnia n. Denicja 1 Jednokolumnow¡ macierz X= x1 x2 . . . =0 xn speªniaj¡c¡ równanie AX = λX nazywamy wektorem wªasnym macierzy A, a odpowiadaj¡c¡ jej liczb¦ λ warto±ci¡...
Wielomiany Denicja 1 Wielomianem zmiennej x nazywamy ka»de wyra»enie postaci a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk , gdzie ai (i = 0, 1, . . . , k) s¡ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Denicja 2 Niech f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk i g(x) = b0 + b1 x + b2 x...
Liczby zespolone Denicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ z = (a, b), gdzie a, b ∈ IR. Zbiór wszystkich liczb zespolonych b¦dziemy oznacza¢ symbolem C. I Przykªad 1 Zaznacz na ukªadzie wspóªrz¦dnych liczby zespolone z1 =...
Twierdzenia i definicje z egzaminu. Algebra Liniowa. Twierdzenia. Twierdzenie o postaci kanonicznej Jacobiego formy kwadratowej. Twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego. Dim Kerf+Dim Imf=n=dim R do n-tej. Twierdzenie o uzupełnieniu do bazy. WKW na diagonalizowalność e...
