To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Rz¡d macierzy
Denicja 1 Mówimy, »e macierz
a11
a21
A=
...
am1
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . amn
a12
a22
...
am2
jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie
minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy oznacza¢
rz(A).
Wniosek 1 Rz¡d macierzy A nie jest wi¦kszy od mniejszej z liczb m i n czyli
rz(A) ≤ min{m, n}.
Twierdzenie 1 Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy
1. przestawimy wiesze (kolumny),
2. pomno»ymy wiersz lub kolumn¦ przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
3. do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumn¦),
4. opu±cimy wiersz (kolumn¦) o elementach proporcjonalnych do innego wiersza (kolumny)
Przykªad 1 Obliczy¢ rz¡d macierzy
1
0
A=
1
2
2
1
3
5
3
2
5
8
4
5
−1 3
.
3
8
7 13
Odejmujemy od wiersza 3-go wiersz 1-szy i
1
2
3
4
5
0
1
2
−1
3
1−1 3−2 5−3 3−4 8−5
2
5
8
7
13
otrzymujemy
1 2
0 1
=
0 1
2 5
macierz
3
2
2
8
4
5
−1 3
.
−1 3
7 13
Teraz od wiersza 4-tego wiersza odejmujemy 1-szy wiersz pomno»ony przez
2 i mamy
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
0 1 2 −1 3
0
1
2
−1
3
=
0 1 2 −1 3
0
1
2
−1
3
2 − 2 · 1 5 − 2 · 2 8 − 2 · 3 7 − 2 · 4 13 − 2 · 5
0 1 2 −1 3
1
.
Zauwa»my, »e wiersze 2-gi, 3-ci i 4-ty s¡ identyczne, wi¦c
rz(A) = rz
1
0
2
1
3
2
4 5
−1 3
.
Pomno»ymy teraz 1-sz¡ kolumn¦ przez (−2) i doda¢ do 2-giej, wi¦c
rz(A) = rz
1 2 + (−2) · 1 3
0 1 + (−2) · 0 2
4 5
−1 3
1 0
0 1
= rz
3 4 5
2 −1 3
.
I tak dalej pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (-3) i otrzymujemy
rz(A) = rz
1 0 3 + (−3) · 1
0 1 2 + (−3) · 0
4 5
−1 3
1 0
0 1
= rz
0 4 5
2 −1 3
.
Teraz pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (−4) i dodamy do czwartej
rz(A) = rz
1 0
0 1
0
2
4 + (−4) · 1 5
−1 + (−4) · 0 3
1 0
0 1
= rz
0 0 5
2 −1 3
.
W ko«cu pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (−5) i dodamy do 5-tej:
rz(A) = rz
1 0
0 1
0
2
0 5 + (−5) · 1
−1 3 + (−5) · 0
1 0
0 1
= rz
0 0 0
2 −1 3
Kolumny 3-cia, 4-ta i 5-ta s¡ proporcjonalne do 2-giej, wi¦c
rz(A) = rz
Poniewa»
1 0
0 1
1 0
0 1
.
= 1 − 0 = 1,
wi¦c rz(A) = 2.
Przykªad 2 Obliczy¢ rz¡d macierzy
2
A= 4
5
−1 3 0
−2 6 0 .
0 1 2
Zauwa»my, »e 1-szy wiersz jest proporcjonalny do 2-go, wi¦c
rzA = rz
2
5
−1 3 0
0 1 2
.
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez 0, 5, wtedy
rzA = rz
2
5
−1 3 0 · 0, 5
0 1 2 · 0, 5
2
= rz
2
5
−1 3 0
0 1 1
.
.
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez (−5) i dodamy do 1-szej, sk¡d
rzA = rz
2 + (−5) · 0
5 + (−5) · 1
−1 3 0
0 1 1
2
0
= rz
−1 3 0
0 1 1
.
Teraz od 3-ciej kolumny odejmujemy 4-t¡, sk¡d
rzA = rz
2 −1 3 − 0 0
0 0 1−1 1
2
0
= rz
−1 3 0
0 0 1
Zauwa»my, »e kolumny 1-sza, 2-ga i 3-cia s¡ proporcjonalne, wi¦c
2
0
rzA = rz
Skoro
2 0
0 1
to rzA = 2.
3
0
1
= 2,
.
.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)