To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Twierdzenie Kroneckera-Cappellego
Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym,
aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i
macierzy rozszerzonej (A : B). Niech rz(A) = rz((A : B)) = r. Gdy r równa
si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, gdy r jest
mniejszy ni» n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«, które zale»¡ od n − r
parametrów.
Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
.
3x − 2y + 2z = −4
x − y + 2z = −2
Niech
5
2
A=
3
1
3
1
−2
−1
−1
−1
, (A : B) =
2
2
5
2
3
1
3
1
−2
−1
−1
−1
2
2
3
1
.
−4
−2
St¡d
rz A
= rz
= rz
= rz
5
3 −1
5
−3
−3 −2 0
= rz
13
3 −2 2
−2 1
0
−2
11 0 1
0 0
−7 0 0
= rz −7 0
21 0
21 0 0
−2 1 0
0 1
0 0 1
1 0 0
1 0 0 = rz 0 1 0
0 1 0
0 0 1
1
3 −1
−2 0
= rz
4
0
1 0
1
0
0
= rz 21
0
0
0
=3
5
−3
13
−2
0
0
1
1
0
0
3 1
−2 0
4 0
1 0
oraz
rz
rz (A : B) =
rz
=
rz
=
rz
=
rz
=
5 3 −1 3
−1 0 2
3
0 0 0
2 1 −1 1
1
= rz
11 2 −2 −4
3 −2 2 −4
1 −1 2 −2
5 1 0 −2
−1 0 2 0
−1 0 2 0
0 0 0 1
= rz 0 0 0 1
1 0 −2 0
11 2 −2 0
5 1 0 0
5 1 0 0
−1 0 2 0
−1 0 2 0
0 0 0 1
= rz 0 0 0 1
−1 0 2 0
5 1 0 0
5 1 0 0
−1 0 2 0
−1 0 0
0 0 0 1 = rz 0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
1 0 0
0 1 0 = 3.
0 0 1
Poniewa» rz A = rz (A : B) = 3 i mamy trzy niewiadome, wi¦c ukªad ma
dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Skoro
W
=
=
5 3 −1
5
3
2 1 −1 = −3 −2
3 −2 2
13
4
−(−12 + 26) = −14 = 0,
to rozwi¡zujemy ukªad
−1
0
0
= (−1)(−1)1+3
−3
13
−2
4
5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
,
3x − 2y + 2z = −4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = −14, wi¦c wyliczymy
Wx , Wy , Wz . Zatem
Wx =
3
1
−4
Wy =
5
2
3
Wz =
3
1
−2
−1
−1
2
=
3
1
−4
−1
−1
2
=
5
2
3
3
1
−2
3
1
−4
3 0
1 0
−4 2
−1
−1
2
= 2(−1)5
3
1
= 1(−1)4
−1
11
−1
0
11
3
1
−4
2
0
−2
=
−1
0
7
3 0
1 0
−2 2
2
= 1(−1)4
−1
−1
2
−2
−1
7
= −2(−3+1) = 4;
= 2−22 = −20;
0
−2
= 2.
St¡d
Wx
4
2
=
=− ;
W
−14
7
Wy
−20
10
y=
=
=
;
W
−14
7
2
1
Wz
=
=− .
z=
W
−14
7
x=
Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3x + 2y − 4z = 5
2x + 3y − 6z = 5 .
5x − y + 2z = 4
Przykªad 3 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
2x − 3y + z − 5u = 1
x + 2y − 3z + 7u = 2 .
3x − y − 2z + 2u = 4
3
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)