Twierdzenie Kroneckera Cappellego- opracowanie

Nasza ocena:

5
Pobrań: 84
Wyświetleń: 742
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Twierdzenie Kroneckera Cappellego- opracowanie - strona 1 Twierdzenie Kroneckera Cappellego- opracowanie - strona 2 Twierdzenie Kroneckera Cappellego- opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Twierdzenie Kroneckera-Cappellego
Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym,
aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i
macierzy rozszerzonej (A : B). Niech rz(A) = rz((A : B)) = r. Gdy r równa
si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, gdy r jest
mniejszy ni» n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«, które zale»¡ od n − r
parametrów.
Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
.
3x − 2y + 2z = −4
x − y + 2z = −2
Niech

5
 2

A=
3
1
3
1
−2
−1


−1

−1 
 , (A : B) = 


2
2
5
2
3
1
3
1
−2
−1
−1
−1
2
2

3
1 
.
−4 
−2
St¡d

rz A

= rz 



= rz 


= rz 


5
3 −1
5
 −3
−3 −2 0 
 = rz 
 13
3 −2 2 
−2 1
0
−2


11 0 1
0 0

−7 0 0 
 = rz  −7 0
 21 0
21 0 0 
−2 1 0
0 1


0 0 1
1 0 0
1 0 0  = rz  0 1 0
0 1 0
0 0 1
1

3 −1
−2 0 
 = rz
4
0 
1 0

1
0
0 
 = rz  21
0 
0
0

=3

5
 −3

 13
−2
0
0
1

1
0 
0

3 1
−2 0 

4 0 
1 0
oraz


rz 

rz (A : B) =


rz 

=


rz 

=

rz 
=

rz 
=


5 3 −1 3
−1 0 2
3
 0 0 0
2 1 −1 1 
1
 = rz 
 11 2 −2 −4
3 −2 2 −4 
1 −1 2 −2
5 1 0 −2



−1 0 2 0
−1 0 2 0


0 0 0 1 
 = rz  0 0 0 1 

 1 0 −2 0 
11 2 −2 0
5 1 0 0
5 1 0 0



−1 0 2 0
−1 0 2 0

0 0 0 1 
= rz  0 0 0 1 
−1 0 2 0 
5 1 0 0
5 1 0 0 


−1 0 2 0
−1 0 0
0 0 0 1  = rz  0 0 1 
0 1 0
0 1 0 0

1 0 0
0 1 0  = 3.
0 0 1




Poniewa» rz A = rz (A : B) = 3 i mamy trzy niewiadome, wi¦c ukªad ma
dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Skoro
W
=
=
5 3 −1
5
3
2 1 −1 = −3 −2
3 −2 2
13
4
−(−12 + 26) = −14 = 0,
to rozwi¡zujemy ukªad
−1
0
0
= (−1)(−1)1+3
−3
13
−2
4
5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
,
3x − 2y + 2z = −4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = −14, wi¦c wyliczymy
Wx , Wy , Wz . Zatem
Wx =
3
1
−4
Wy =
5
2
3
Wz =
3
1
−2
−1
−1
2
=
3
1
−4
−1
−1
2
=
5
2
3
3
1
−2
3
1
−4
3 0
1 0
−4 2
−1
−1
2
= 2(−1)5
3
1
= 1(−1)4
−1
11
−1
0
11
3
1
−4
2
0
−2
=
−1
0
7
3 0
1 0
−2 2
2
= 1(−1)4
−1
−1
2
−2
−1
7
= −2(−3+1) = 4;
= 2−22 = −20;
0
−2
= 2.
St¡d
Wx
4
2
=
=− ;
W
−14
7
Wy
−20
10
y=
=
=
;
W
−14
7
2
1
Wz
=
=− .
z=
W
−14
7
x=
Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3x + 2y − 4z = 5
2x + 3y − 6z = 5 .
5x − y + 2z = 4
Przykªad 3 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
2x − 3y + z − 5u = 1
x + 2y − 3z + 7u = 2 .
3x − y − 2z + 2u = 4
3
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz