Liczby zespolone- opracowanie

Nasza ocena:

5
Pobrań: 301
Wyświetleń: 1617
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Liczby zespolone- opracowanie - strona 1 Liczby zespolone- opracowanie - strona 2 Liczby zespolone- opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Liczby zespolone
Denicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ z = (a, b), gdzie
a, b ∈ IR. Zbiór wszystkich liczb zespolonych b¦dziemy oznacza¢ symbolem C.
I
Przykªad 1 Zaznacz na ukªadzie wspóªrz¦dnych liczby zespolone z1 = (1, 2)
i z2 = (−1, 1).
b
6
qz1
q z2
a
Denicja 2 Dwie liczby zespolone z1 = (a1 , b1 ), z2 = (a2 , b2 ) nazywamy równymi,
gdy a1 = a2 i b1 = b2 .
Przykªad 2 Zaªó»my, »e liczby zespolone z1 = (1, 3 + x) i z2 = (y − 2, 4) s¡
równe. Obliczy¢ x i y .
Skoro z1 = z2 , to (1, 3 + x) = (y − 2, 4), wi¦c
1=y−2
3+x=4
St¡d
y=3
x=1
Denicja 3 Sum¡ dwóch liczb zespolonych z1 = (a1 , b1 ) i z2 = (a2 , b2 ) nazywamy liczb¦ zespolon¡ z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ), co zapisujemy w postaci
z = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ).
1
Denicja 4 Iloczynem dwóch liczb zespolonych z1 = (a1 , b1 ) i z = (a2 , b2 ) nazy-
wamy liczb¦ zepolon¡ z = z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ), co zapisujemy w
postaci
z = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Przykªad 3 Niech z1 = (1, 2) i niech z2 = (2, 3). Wtedy
z1 + z2 = (1, 2) + (2, 3) = (1 + 2, 2 + 3) = (3, 5)
oraz
z1 z2 = (1, 2) · (2, 3) = (1 · 2 − 2 · 3, 1 · 3 + 2 · 2) = (−4, 7).
Twierdzenie 1 Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
∀z1 ,z2 ∈ C z1 + z2 = z2 + z1 .
I
Twierdzenie 2 Dodawanie liczb zespolonych jest ª¡czne:
∀z1 ,z2 ,z3 ∈ C (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
I
Twierdzenie 3 Mno»enie liczb zespolonych jest przemienne:
∀z1 ,z2 ∈ C z1 z2 = z2 z1 .
I
Twierdzenie 4 Mno»enie liczb zespolonych jest ª¡czne:
∀z1 ,z2 ,z3 ∈ C z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 .
I
Przykªad 4 Niech z1 = (a1 , 0) i niech z2 = (a2 , 0). Wtedy
z1 + z2 = (a1 + a2 , 0) oraz z1 z2 = (a1 a2 , 0).
St¡d wynika, »e liczb¦ zespolon¡ z = (a, 0) mo»emy uto»sami¢ z liczb¡
rzeczywist¡ a, czyli
∀a∈IR z = (a, 0) = a.
Denicja 5 Elementem zerowym nazywamy liczb¦ z = (0, 0), a elementem jednostkowym nazywamy liczb¦ zespolon¡ (1, 0).
Przykªad 5 Niech z = (a, b). Wtedy
z + (0, 0) = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
z · (1, 0) = (a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b).
2
Denicja 6 Liczb¦ zespolon¡ z = (0, 1) nazywamy jednostk¡ urojon¡ i oznaczamy symbolem i.
Przykªad 6 Pomno»ymy liczb¦ i przez siebie. Wówczas
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0) = (−1, 0) = −1.
Zatem i2 = −1.
Twierdzenie 5 Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) mo»na przedstawi¢ w postaci
z = a + bi, gdzie a, b ∈ IR i i jest jednostk¡ urojon¡.
Dowód.
Niech z = (a, b). Wtedy
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0)(0, 1) = a + bi.
Zatem z mo»na przedstawi¢ w postaci a + bi, gdzie a, b ∈ IR oraz i jest jednostk¡
urojn¡.
Denicja 7 Posta¢ z = a+bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej.
Liczb¦ a nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ liczby z i oznaczamy Rez . Liczb¦ b
nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ liczby z i oznaczamy Imz .
Przykªad 7 Niech z = 2 + 4i. Wtedy Rez = 2 i Imz = 4.
Twierdzenie 6 Niech z1 = a1 + b1 i i niech z2 = a2 + b2 i. Wtedy
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i

(…)

… liczb¦ |z| = a2 + b2 .
Przykªad 12 Niech z = 2 + 3i. Wtedy
|z| =


22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Denicja 10 Argumentem liczby zespolonej z ró»nej od 0 nazywamy ka»d¡
liczb¦ rzeczywist¡ α, która speªnia warunki
cos α =
b
a
, sin α =
.
|z|
|z|
Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem argz .
Przykªad 13 Wyznaczy¢ moduª i argument liczby zespolonej z = 1 + i.
5


Oczywi±cie |z| = 12 + 12 = 2. Wtedy
1
1…

z=
2
3
i
π
π
2
cos + i sin
.
3
2
2
Twierdzenie 13 (wzór de Moivre'a) Niech n ∈ IN. n-ta pot¦ga liczby zespolonej z = r(cos α + i sin α) wyra»a si¦ wzorem
z n = rn (cos nα + i sin nα).

Przykªad 18 Obliczy¢ ( 3 + i)5 .


Niech z = 3 + i. Wtedy r = 3 + 1 = 2 oraz

3
1
cos α =
, sin α = .
2
2
St¡d α =
»e
π
6.
Zatem z = 2 cos π + sin π . Z poprzedniego twierdzenia wynika,
6
6
z5
25 cos 5 π + i sin 5 π…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz