Wielomiany- opracowanie

Nasza ocena:

5
Pobrań: 280
Wyświetleń: 1176
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wielomiany- opracowanie - strona 1 Wielomiany- opracowanie - strona 2 Wielomiany- opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Wielomiany
Denicja 1 Wielomianem zmiennej x nazywamy ka»de wyra»enie postaci
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk ,
gdzie ai (i = 0, 1, . . . , k) s¡ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
Denicja 2 Niech f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk i g(x) =
b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm−1 xm−1 + bm xm , przy czym zaªó»my, »e k ≥ m. Ich
sum¦ i iloczyn okre±lamy wzorami:
f (x)+g(x) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x2 +. . .+(ak−1 +bk )xk−1 +(ak +bk )xk ;
f (x)g(x)
= a0 b0 + (a1 b0 + a0 + b1 )x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + . . .
+(ak bm−1 + ak−1 bm )xk+m−1 + ak bm xk+m .
Przykªad 1 Niech f (x) = 2x2 + 3x + 5 i niech g(x) = x4 + 2x3 + 5x2 + 2x + 3.
Obliczy¢ ich sum¦ i iloczyn.
Przykªad 2 Znale¹¢ sum¦ i iloczyn wielomianów f (x) = i + (2 − i)x + ix2 i
g(x) = 4i − (i + 8)x2 − 6ix3 .
Denicja 3 Stopniem wielomianu f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 +
ak xk , w którym cho¢ jeden ze wspóªczynników ai (i = 0, 1, . . . , k) jest ró»ny od
zera, nazywamy wska¹nik ostatniego wspóªczynnika ró»nego od zera.
Przykªad 3 Jak jest stopie« wielomianów f i g z poprzedniego przykªadu?
Denicja 4 Wielomian 0 + 0x + 0x2 + . . . + 0xk nazywamy wielomianem ze-
rowym.
Twierdzenie 1 Stopie« sumy dwóch wielomianów jest niewi¦kszy od stopni
wielomianów dodawanych, a stopie« iloczynu dwóch wielomianów jest równy
sumie stopni tych wielomianów.
Twierdzenie 2 Dla ka»dego m ≥ 0 zachodzi wzór
xm − cm = (x − c)(xm−1 + cxm−2 + . . . + cm−2 x + cm−1 ),
gdzie c jest liczb¡ rzeczywist¡ lub zespolon¡.
St¡d wynika, »e f (x)−f (c) = (x−c)g(x), gdzie g jest pewnym wielomianem.
Denicja 5 Liczb¦ c nazywamy pierwiastkiem wielomianu f je»eli f (c) = 0.
Twierdzenie 3 Je»eli c jest pierwiastkiem wielomianu f , to f (x) = (x−c)g(x),
gdzie g jest pewnym wielomianem.
1
Twierdzenie 4 Liczba c jest pierwiastkiem wielomianu f , gdy wielomian x − c
dzieli wielomian f .
Denicja 6 Liczba c jest pierwiastkiem p-krotnym wielomianu f , gdy
1. istnieje wielomian g taki, »e f (x) = (x − c)p g(x);
2. nie istnieje wielomian h dla którego byªoby f (x) = (x − c)p+1 h(x).
Twierdzenie 5 Wielomian stopnia k ma co najwy»ej k pierwiastków, suma ich
krotno±ci jest niewi¦ksza od k .
Twierdzenie 6 (algorytm Euklidesa) Niech f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . +
ak−1 xk−1 + ak xk , ak = 0 i g b¦d¡ wielomianami. Wtedy istniej¡ jednoznacznie
wyznaczone wielomiany h i r takie, »e g(x) = f (x)h(x) + r(x) i stopie« wielomianu r jest mniejszy ni» k.
Ka»de równanie stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk = 0, ak = 0,
mo»na przez podstawienie x =
y
an
sprowadzi¢ do równania postaci
b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bk−1 xk−1 + xk = 0.
Przykªad 4 Niech g(x) = 4x3 + x2 − 2 i f (x) = 3x + 1. Znale¹¢ wielomiany h
i r.
Twierdzenie 7 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Je±li f jest wielomianem o
wspóªczynnikach zespolonych, którego stopie« jest wi¦kszy b¡d¹ równy 1. Wtedy
f ma pierwiastek w zbiorze liczb zespolonych.
Twierdzenie 8

(…)

…, −8, −4, −2,
−1, wi¦c wyliczymy warto±¢ wielomianu w punkcie w kolejnych punktach tak
dªugo, a» w(x) = 0 lub warto±¢ wielomianu w tych punktach b¦dzie ró»na od
zera. Najpierw policzymy warto±¢ wielomianu w punkcie y = 1, wtedy
w(1) = 1 + 7 − 4 + 28 − 32 = 0.
Skoro w(1) = 0, to znale¹li±my pierwszy pierwiastek
y1 = 1
oraz dzielimy wielomian y 4 + 7y 3 − 4y 2 + 28y − 32 przez dwumian y − 1…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz