Równanie różniczkowe drugiego rzędu - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 1015
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Równanie różniczkowe drugiego rzędu - wykład - strona 1 Równanie różniczkowe drugiego rzędu - wykład - strona 2

Fragment notatki:

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
DRUGIEGO RZĘDU
XII. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach
ay '' by ' cy  r  x 
Metoda przewidywań
y  y j  yp
ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne.
ay '' by ' cy  0
ar 2  br  c  0
?
0
r1 , r2
0
r0
0
r1     i
r2     i
y j  C1er1x  C2er2 x
y j  C1er0 x  C2 xer0 x
y j  e x  C1 cos  x  C2 sin  x 
Mamy rozwiązanie jednorodne: y j
ETAP 2: Znajdujemy „rozwiązanie przewidywane”.
Bierzemy pod uwagę r  x  z równania ay  by  cy  r  x  i określamy postać ogólną y p
r  x
yp
WIELOMIAN
POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA) eax
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA)  sin ax + (POSTAĆ
OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO
STOPNIA)  cos ax
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA) eax sin bx + (POSTAĆ
OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO
STOPNIA) eax cos bx
WIELOMIAN eax
WIELOMIAN  sin ax + WIELOMIAN  cos ax
WIELOMIAN eax sin bx + WIELOMIAN
eax cos bx
Z postaci ogólnej y p liczymy pochodną i pochodną drugiego rzędu y p , y p , wstawiamy do
równania ay  by  cy  r  x  i wyznaczamy stałe do postaci ogólnej y p poprzez
porównywanie wielomianów.
Mamy rozwiązanie przewidywane: y p
Odp. y  y j  y p
Metoda uzmienniania stałych
ay '' by ' cy  r  x 
ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne (jak wyżej).
Mamy rozwiązanie jednorodne: y j
W rozwiązaniu tym „uzmienniamy stałe” i mamy: y  C1  x  
 C2  x   
ETAP 2: Tworzymy układ równań:
C   x    C   x     0
2
 1

r  x

C1  x    C2  x    
a

Rozwiązujemy go (układ Cramera), wyznaczamy C1  x  i C2  x  , wstawiamy je do
otrzymanego w ETAPIE 1 związku y  C1  x  
 C2  x    i mamy odpowiedź.
XIII. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F  x, y ''  0
Równanie y  
 obustronnie całkujemy.
XIV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F  x, y ', y ''  0
Podstawiamy p  y .
XV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F  y, y ', y ''  0
Podstawiamy u  y   y .
Podstawiona funkcja jest funkcją zmiennej y.
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz