To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
DRUGIEGO RZĘDU
XII. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach
ay '' by ' cy r x
Metoda przewidywań
y y j yp
ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne.
ay '' by ' cy 0
ar 2 br c 0
?
0
r1 , r2
0
r0
0
r1 i
r2 i
y j C1er1x C2er2 x
y j C1er0 x C2 xer0 x
y j e x C1 cos x C2 sin x
Mamy rozwiązanie jednorodne: y j
ETAP 2: Znajdujemy „rozwiązanie przewidywane”.
Bierzemy pod uwagę r x z równania ay by cy r x i określamy postać ogólną y p
r x
yp
WIELOMIAN
POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA) eax
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA) sin ax + (POSTAĆ
OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO
STOPNIA) cos ax
(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO
SAMEGO STOPNIA) eax sin bx + (POSTAĆ
OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO
STOPNIA) eax cos bx
WIELOMIAN eax
WIELOMIAN sin ax + WIELOMIAN cos ax
WIELOMIAN eax sin bx + WIELOMIAN
eax cos bx
Z postaci ogólnej y p liczymy pochodną i pochodną drugiego rzędu y p , y p , wstawiamy do
równania ay by cy r x i wyznaczamy stałe do postaci ogólnej y p poprzez
porównywanie wielomianów.
Mamy rozwiązanie przewidywane: y p
Odp. y y j y p
Metoda uzmienniania stałych
ay '' by ' cy r x
ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne (jak wyżej).
Mamy rozwiązanie jednorodne: y j
W rozwiązaniu tym „uzmienniamy stałe” i mamy: y C1 x
C2 x
ETAP 2: Tworzymy układ równań:
C x C x 0
2
1
r x
C1 x C2 x
a
Rozwiązujemy go (układ Cramera), wyznaczamy C1 x i C2 x , wstawiamy je do
otrzymanego w ETAPIE 1 związku y C1 x
C2 x i mamy odpowiedź.
XIII. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F x, y '' 0
Równanie y
obustronnie całkujemy.
XIV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F x, y ', y '' 0
Podstawiamy p y .
XV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F y, y ', y '' 0
Podstawiamy u y y .
Podstawiona funkcja jest funkcją zmiennej y.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)