Ekonometria - Macierze - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 105
Wyświetleń: 1225
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekonometria - Macierze - omówienie - strona 1 Ekonometria - Macierze - omówienie - strona 2 Ekonometria - Macierze - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
1
Macierze
1.1 Transpozycja macierzy
(AB ) T  BT A T
1.2 Macierz symetryczna
to macierz kwadratowa, o tej samej liczbie wierszy i kolumn, której wyrazy położone symetrycznie
względem głównej przekątnej są równe;
A  [aij ] stopnia n, która dla i, j  1,..., n
spełnia aij  a ji
AT  A
Czy macierz ( X' X) jest macierzą symetryczną?
Dla dowolnej macierzy A macierz AAT jest symetryczna;
ponadto AAT = (AAT)T a więc macierz ta również jest symetryczna
1.3 Ślad macierzy tr (A) to suma elementów na głównej przekątnej.
Podstawowe własności: tr (cA)  c(tr (A))
tr (cA)  c(tr ( A))
tr ( A ')  tr ( A)
tr ( A  B)  tr ( A )  tr (B)
tr (I K )  K _ tr (I n )  n
tr ( AB)  tr (BA)
a ' a  tr (a ' a)  tr (aa ')
K
K
i 1
i 1 j 1
K
2
tr ( A ' A )   ai' ai   aij
tr (C ' AC)  tr ( ACC ')  tr ( AI )  tr ( A)  tr (  )
1.4 Rząd macierzy
– maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy
(największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy)
r (AB )  min{r (A); r (B)}
1.5 Wyznacznik macierzy:
suma iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) macierzy i odpowiadających im dopełnień
algebraicznych (dla macierzy kwadratowej, n1)
det(AB )  det(A) * det(B)
Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
det(A)  1 / det(A 1 )
Wyznacz minor dla elementu aij macierzy A:
3
A  4

7

2
5
2
 1
6

3

1.6 Macierz odwrotna
Macierz odwrotna do kwadratowej nieosobliwej macierzy A to taka macierz, że
AA 1  I
(AB ) 1  B 1 A 1
Jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych aij  (1) i  j Minorij dzieloną przez
wyznacznik macierzy odwracanej
(do przypomnienia odwracanie macierzy na kartce)
Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero.
1.7 Wektory i macierze ortogonalne
1.7.1 Wektory ortogonalne
Wektory ortogonalne to takie, których iloczyn skalarny wynosi 0. Iloczyn skalarny, to iloczyn dwóch
wektorów, a i b o takich samych wymiarach: a' b  b' a  0
1.7.2 Macierz ortogonalna:
taka macierz kwadratowa, że A' A  I,
A'  A 1
Pierwiastki charakterystyczne: 1 albo -1
Wyznacznik : 1 lub -1.
det(AA ' )  det(A) * det(A' )  det(I)  1
det(A' )  det(A)  (det(A)) 2  1
0.96
Przykład macierzy ortogonalnej: 
0.28
 0.28
0.96

Jeżeli A jest macierzą symetryczną, to istnieje taka macierz ortogonalna C o tych samych
wymiarach, że macierz C'AC jest macierzą diagonalną
1.8 Macierz idempotentna
Macierz idempotentna to macierz kwadratowa taka, że M*M=M
Pierwiastki charakterystyczne: 1 albo 0
Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
Ważne macierz idempotentne w ekonometrii:
I  X * (X' X) 1 X'  M
I
1
11'  M 0
T
XTxn T  n, r (X)  n
1 jest wektorem jednostkowym
Jeżeli macierz M jest idempotentna, to macierz I – M też jest idempotentna.
Macierz

(…)

… (A ; AA' )
4.2 Idempotentna forma kwadratowa rzędu K standaryzowanego wektora
normalnego ma rozkład chi-kwadrat z K stopniami swobody
Jeżeli
d ~ N (0; I)
A – macierz idempotentna rzędu K
2
d' Ad ~  K
4.3 Standaryzacja zmiennej losowej
Jeżeli x ma rozkład d ~ N (;  ) , to zmienna y 
(x  )

ma standaryzowany rozkład normalny,
czyli: y ~ N (0; 1)
4.4 Niezależność form liniowych i kwadratowych
Niezależność…
…:
 3
A
2 2

3
2 2

 1

Rozkłady
1. Rozkład chi-kwadrat
Jeżeli:
d ~ N (0; 1)
Zmienne di są niezależne, to
2
f  d12  d 2  ...  d k2 ~  k2
2
2
E (  K )  k , E (  K  k ) 2  2k
2. Rozkład t Studenta
Jeżeli:
d ~ N (0; 1)
f ~  k2
Zmienne d i f są niezależne, to
d
f
k
~ tk
E (t k )  0 E (t k  0) 2  k /( k  2)
3. Rozkład F-Snedecora
Jeżeli:
f1 ~  k21 , f 2 ~  k22
Zmienne f1 i f2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz