To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
1
Macierze
1.1 Transpozycja macierzy
(AB ) T BT A T
1.2 Macierz symetryczna
to macierz kwadratowa, o tej samej liczbie wierszy i kolumn, której wyrazy położone symetrycznie
względem głównej przekątnej są równe;
A [aij ] stopnia n, która dla i, j 1,..., n
spełnia aij a ji
AT A
Czy macierz ( X' X) jest macierzą symetryczną?
Dla dowolnej macierzy A macierz AAT jest symetryczna;
ponadto AAT = (AAT)T a więc macierz ta również jest symetryczna
1.3 Ślad macierzy tr (A) to suma elementów na głównej przekątnej.
Podstawowe własności: tr (cA) c(tr (A))
tr (cA) c(tr ( A))
tr ( A ') tr ( A)
tr ( A B) tr ( A ) tr (B)
tr (I K ) K _ tr (I n ) n
tr ( AB) tr (BA)
a ' a tr (a ' a) tr (aa ')
K
K
i 1
i 1 j 1
K
2
tr ( A ' A ) ai' ai aij
tr (C ' AC) tr ( ACC ') tr ( AI ) tr ( A) tr ( )
1.4 Rząd macierzy
– maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy
(największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy)
r (AB ) min{r (A); r (B)}
1.5 Wyznacznik macierzy:
suma iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) macierzy i odpowiadających im dopełnień
algebraicznych (dla macierzy kwadratowej, n1)
det(AB ) det(A) * det(B)
Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
det(A) 1 / det(A 1 )
Wyznacz minor dla elementu aij macierzy A:
3
A 4
7
2
5
2
1
6
3
1.6 Macierz odwrotna
Macierz odwrotna do kwadratowej nieosobliwej macierzy A to taka macierz, że
AA 1 I
(AB ) 1 B 1 A 1
Jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych aij (1) i j Minorij dzieloną przez
wyznacznik macierzy odwracanej
(do przypomnienia odwracanie macierzy na kartce)
Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy zero.
1.7 Wektory i macierze ortogonalne
1.7.1 Wektory ortogonalne
Wektory ortogonalne to takie, których iloczyn skalarny wynosi 0. Iloczyn skalarny, to iloczyn dwóch
wektorów, a i b o takich samych wymiarach: a' b b' a 0
1.7.2 Macierz ortogonalna:
taka macierz kwadratowa, że A' A I,
A' A 1
Pierwiastki charakterystyczne: 1 albo -1
Wyznacznik : 1 lub -1.
det(AA ' ) det(A) * det(A' ) det(I) 1
det(A' ) det(A) (det(A)) 2 1
0.96
Przykład macierzy ortogonalnej:
0.28
0.28
0.96
Jeżeli A jest macierzą symetryczną, to istnieje taka macierz ortogonalna C o tych samych
wymiarach, że macierz C'AC jest macierzą diagonalną
1.8 Macierz idempotentna
Macierz idempotentna to macierz kwadratowa taka, że M*M=M
Pierwiastki charakterystyczne: 1 albo 0
Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, II rok
Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii
Ważne macierz idempotentne w ekonometrii:
I X * (X' X) 1 X' M
I
1
11' M 0
T
XTxn T n, r (X) n
1 jest wektorem jednostkowym
Jeżeli macierz M jest idempotentna, to macierz I – M też jest idempotentna.
Macierz
(…)
… (A ; AA' )
4.2 Idempotentna forma kwadratowa rzędu K standaryzowanego wektora
normalnego ma rozkład chi-kwadrat z K stopniami swobody
Jeżeli
d ~ N (0; I)
A – macierz idempotentna rzędu K
2
d' Ad ~ K
4.3 Standaryzacja zmiennej losowej
Jeżeli x ma rozkład d ~ N (; ) , to zmienna y
(x )
ma standaryzowany rozkład normalny,
czyli: y ~ N (0; 1)
4.4 Niezależność form liniowych i kwadratowych
Niezależność…
…:
3
A
2 2
3
2 2
1
Rozkłady
1. Rozkład chi-kwadrat
Jeżeli:
d ~ N (0; 1)
Zmienne di są niezależne, to
2
f d12 d 2 ... d k2 ~ k2
2
2
E ( K ) k , E ( K k ) 2 2k
2. Rozkład t Studenta
Jeżeli:
d ~ N (0; 1)
f ~ k2
Zmienne d i f są niezależne, to
d
f
k
~ tk
E (t k ) 0 E (t k 0) 2 k /( k 2)
3. Rozkład F-Snedecora
Jeżeli:
f1 ~ k21 , f 2 ~ k22
Zmienne f1 i f2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)