To tylko jedna z 14 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
prof. dr hab. inż. Józef czaja RACHUNEK WYRÓWNAWCZY - MODELE STATYSTYCZNE W INFORMACJI O TERENIE Rozdział 1 Podstawy algebry maci e rzy formy kwadratowe 1.1. Układy równań liniowych Układ równań o niewiadomych można zapisać w postaci tablic liczb (macierzy).
(1.1)
Macierz oznacza tablicę liczb o wymiarach: n -wierszy i m -kolumn. Każdy element macierzy (liczba) ma ściśle określoną pozycję, zatem często stosuje się oznaczenie macierzy przez , czyli zbiór elementów w i -tym wierszu i w j -tej kolumnie. Wymiary stanowią stopień macierzy.
Stosując oznaczenia:
(1.2)
układ równań (1.1) przyjmuje następującą postać macierzową
(1.3)
czyli
(1.4)
Aby rozwiązywać układy równań (1.3) dla różnych przypadków, trzeba poznać algebrę macierzy.
1.2. Operacje na macierzach Dodawanie lub odejmowanie można wykonać tylko na macierzach o identycznych wymiarach, czyli
(1.5)
Iloczyn dwóch macierzy definiuje się jako iloczyn wierszy pierwszej macierzy i odpowiadających elementów kolumn drugiej macierzy, czyli
(1.6)
Iloczyn wielu macierzy można zapisać według formuły
(1.7)
Mnożenie macierzy jest łączne, czyli
(1.8)
oraz rozdzielne względem dodawania, czyli
(1.9)
natomiast w ogólnym przypadku nie jest przemienne, czyli .
Macierzą transponowaną względem macierzy nazywa się taką macierz , w której wiersze odpowiadają kolumnom macierzy , czyli element macierzy odpowiada elementowi macierzy A . Transpoza macierzy posiada następujące własności:
(1.10)
Ze względu na kształt i elementy macierzy wyróżnia się następujące rodzaje macierzy:
Macierz zerową O stanowi macierz o wszystkich elementach zerowych i o dowolnych wymiarach.
Macierz jednostkową I stanowi taka macierz, której wszystkie elementy na przekątnej są równe jedności, a wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zeru. Macierz I często jest oznaczana przez E .
Macierz diagonalną D stanowi macierz kwadratowa, której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zeru, czyli dla .
Macierz skalarna jest to taka macierz diagonalna, której wszystkie elementy są sobie równe, np. c , wtedy można zapisać .
Macierzą kwadratową nazywamy każdą macierz stopnia , czyli o k -wierszach i k -kolumnach.
Macierzą symetryczną jest taka macierz kwadratowa, w której elementy są symetryczne względem przekątnej głównej, czyli , dla .
Iloczyn macierzy jest macierzą symetryczną, gdyż
(…)
… odwrotna, pseudoodwrotność macierzy
Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia jest nieosobliwa, czyli rzędu m, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna taka, że
(1.37)
Macierz nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A lub zwykłą odwrotnością macierzy A. Elementy macierzy odwrotnej można wyznaczyć z definicji (1.37). Niech elementy macierzy , zaś elementy macierzy , wtedy iloczyny macierzy A przez kolejne kolumny macierzy prowadzą do układów równań liniowych względem niewiadomych postaci
(1.38)
Układ (1.38) jest rozpisany dla pierwszej kolumny macierzy , ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdyż macierz A jest pełnego rzędu. Rozwiązując podobne układy równań dla wszystkich kolumn macierzy odwrotnej otrzymuje się pozostałe jej elementy.
Macierz odwrotna dla układu równań (1.3) określa rozwiązanie tego układu…
…)
gdzie sumowanie przebiega wszystkie permutacje wskaźników ciągu , przy czym znak plus jest, gdy tworzą permutację parzystą, zaś znak minus jest gdy wskaźniki te tworzą permutację nieparzystą.
Jeżeli w macierzy A skreśli się i-ty wiersz i j-tą kolumnę, to wyznacznik takiej podmacierzy nosi nazwę minora i oznaczany jest przez .
Wartość minora pomnożona przez stanowi algebraiczne dopełnienie elementu macierzy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)