To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej
Każdej macierzy można przyporządkować liczbę rzeczywistą, zwaną wyznacznikiem macierzy. Wyznacznik macierzy oznaczamy symbolem lub
. Liczbę nazywamy stopniem wyznacznika.
Wyznacznik definiuje się rekurencyjnie w zależności od jego stopnia.
Niech , czyli . Wtedy .
Przykłady
, .
Niech , czyli
.
Wtedy
.
Przykłady
, .
Niech , czyli
.
Wtedy stosujemy metodę (regułę) Sarrusa. Polega ona na dopisaniu do wyznacznika dwóch pierwszych kolumn
.
Analogicznie metodę Sarrusa można zastosować po dopisaniu dwóch pierwszych kolumn.
Przykład
.
.
Niech teraz . Opiszemy ogólną metodę obliczania wyznaczników, zwaną metodą Laplace'a. Najpierw dla macierzy postaci
określamy macierz stopnia , która powstaje z macierzy przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, czyli
Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem (podwyznacznikiem) stopnia i oznaczmy symbolem . Wyrażenie
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu .
Teraz można podać wzór Laplace'a :
, .
Uwaga
Wzór Laplace'a można zapisać także w postaci
, .
Przykłady
.
.
.
Uwaga
Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zeru nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.
Macierz odwrotna
Macierz nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej , jeżeli
.
Macierz odwrotną do macierzy będziemy oznaczać symbolem . A zatem mamy równość
.
Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej:
z definicji,
metodą operacji elementarnych,
metodą wyznacznikową.
Przykład
Wyznaczyć na podstawie definicji macierz odwrotną do macierzy
.
Ponieważ macierz jest macierzą stopnia drugiego, a więc macierz odwrotna też musi być tego samego stopnia. Rozważmy macierz
,
gdzie , , , są nieznane. Z definicji mamy
(…)
… symbolem .
Uwagi
Rząd macierzy jest równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej generowanej przez wiersze tej macierzy.
Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.
.
Metody wyznaczania rzędu macierzy
z definicji,
za pomocą operacji elementarnych,
za pomocą wyznaczników.
Przykład
Korzystając z definicji wyznaczyć rząd macierzy
.
Niech , , .
Tworzymy kombinację liniową
,
czyli ,
skąd otrzymujemy układ równań
który, jak łatwo sprawdzić ma rozwiązanie niezerowe, np. , , .
Oznacza to, że . Tworzymy wobec tego kombinację złożoną z dwóch wektorów, np.
,
czyli
,
skąd dostajemy
który ma rozwiązanie zerowe , co oznacza, że wektory i są liniowo niezależne, a zatem .
Przykład
Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą operacji elementarnych
.
Idea tej metody…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)