Algebra liniowa 2 semestr

Nasza ocena:

5
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1519
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Algebra liniowa
1. Podaj definicję iloczynu skalarnego wektorów Iloczyn skalarny wektorów i jest liczbą określoną następująco:
Jak widać  2. Kiedy wektory są ortogonalne?
Zakładając, że to wektory, jeśli  , to mówimy, że wektory są ortogonalne (prostopadłe).
Układ wektorów jest ortogonalny, gdy wektory te są parami ortogonalne.
Jeśli dodatkowo dla każdego wektora  , to układ nazywamy ortogonalnym.
3. Podać definicję normy euklidesowej wektora Normą euklidesową wektora nazywamy nieujemną liczbę: Niech dana będzie przestrzeń liniowa   nad ciałem liczb rzeczywistych ℝ wymiaru n w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną  nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru  .
4. Podać definicję kombinacji liniowej wektorów , … , Weźmy m wektorów , , … , należących do przestrzeni   i liczb  , , … , .
Wektor
nazywamy kombinacją liniową wektorów  , , … , ze współczynnikami  , , … , .
5. Kiedy wektory , … , ∈ nazywamy liniowo niezależnymi? Podaj przykład dwóch wektorów liniowo zależnych Wektory   , , … , ∈ nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki   są równe zero.
Jeżeli wektory nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są liniowo zależne. Przykłady wektorów liniowo zależnych:
= = = = 6. Podaj definicję macierzy Macierzą liczbową o wierszach i kolumnach nazywamy prostokątną tablicę zawierającą liczb. Tablicę taką zapisujemy w postaci = = A Jeśli elementy macierzy są liczbami rzeczywistymi to macierz nazywamy rzeczywistą.
Macierz może zawierać inne elementy, np. funkcje - wtedy taką macierz nazywamy funkcyjną.
7. Podaj przykład macierzy trójkątnej dolnej
8. Jaki jest warunek konieczny mnożenia macierzy? Warunek konieczny:
Żeby można było pomnożyć macierze to liczba kolumn macierzy pierwszej musi być równa liczbie wierszy macierzy drugiej.
Mnożenie macierzy jest łączne ale nie przemienne. Jeśli istnieje to niekoniecznie, a jeśli nawet istnieją oba iloczyny  to zazwyczaj nie są równe. Zawsze można mnożyć przez siebie macierze kwadratowe tego samego stopnia.
9. Które z poniższych wzorów są prawdziwe?
+( + )=( + )+ - prawdziwe
+ = + - prawdziwe
( )=( ) - prawdziwe
= - nieprawdziwe


(…)

…:
,
gdzie jest macierzą jednostkową.
Jeżeli taka macierz nie istnieje, to macierz nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz nazywa się macierzą odwrotną do macierzy i oznacza się ją wówczas przez .
24. Podać definicję rzędu macierzy
Rząd macierzy ( o wymiarach jest to maksymalna liczba niezależnych liniowo kolumn/ wierszy.
Aby obliczyć rząd macierzy należy zastosować do tej macierzy metodę eliminacji Gaussa-Jordana i sprowadzić ją do jednej z postaci bazowych. Wymiar wyróżnionej tam macierzy jednostkowej równy jest .
25. Jakie operacje na wierszach macierzy (operacje elementarne) nie zmieniają rzędu macierzy?
Żadna z operacji elementarnych nie zmienia rzędu macierzy.
26. Ile rozwiązań może mieć układ równań liniowych o niewiadomych?
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli wyznacznik macierzy…
…. Podać własności macierzy odwrotnej.
Macierz nazywana jest macierzą odwrotną do macierzy jeśli Gdzie jest macierzą jednostkową. Macierz odwrotną oznaczamy Macierz nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istnieje macierz odwrotna do macierzy . Własności macierzy odwrotnej:
Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy , to jest ona tylko jedna
Macierz odwrotna   do macierzy kwadratowej istnieje…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz