Własności wyznaczników-wykład

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 637
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Wykład 3- Własności wyznaczników det AT = det A.
Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa dowolne wiersze (kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.
Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę należy wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) pomnożyć przez tę liczbę.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się nad (lub pod) diagonalą są równe zeru, to wartość wyznacznika równa jest iloczynowi elementów diagonali. O takim wyznaczniku mówimy, że ma postać trójkątną.
Jeżeli w wyznaczniku a) wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) są równe zeru lub b) dwa wiersze (kolumny) są identyczne lub c) wszystkie elementy pewnego wiersza ( kolumny ) są proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) lub d) pewien wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn) , to wartość wyznacznika równa jest zeru.
Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez jedną i tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Wyznacznik jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jego wiersze (kolumny) są liniowo niezależne.
Twierdzenie Cauchy'ego. Jeżeli A i B są macierzami tego samego stopnia to det(A·B) = detA·detB
Definicja (macierz nieosobliwa)
Macierz A nazywamy nieosobliwą jeśli .
Twierdzenie
Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest nieosobliwa.
Definicja
Macierz A nazywamy ortogonalną jeśli .
Twierdzenie
Jeśli A jest ortogonalna to oraz jest ortogonalna.
Definicja
Niech , , , , , .Wówczas układ równań AX=B nazywamy układem Cramera jeśli A jest nieosobliwa.
Twierdzenie Cramera
Jeżeli układ n równań liniowych o n niewiadomych, ma nieosobliwą macierz A współczynników przy niewiadomych, to układ ten ma jedyne rozwiązanie dane wzorami Cramera
gdzie Ai jest wyznacznikiem powstałym z wyznacznika macierzy A, przez zastąpienie w nim kolumny współczynników przy niewiadomej xi kolumną wyrazów wolnych.
Układ równań Cramera jest oznaczony.
Definicja (liniowa kombinacja)
Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczbowym K oraz to mówić będziemy, że jest liniową kombinacją wektorów jeśli istnieją skalary takie, że .
Definicja (wektory liniowo zależne)
Wektory

(…)

… niezależnymi.
Definicja
Zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów przestrzeni liniowej V jest przestrzenią liniową (podprzestrzenią liniową V), oznaczamy ją .
Definicja (baza p-ni liniowej)
Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy układ liniowo niezależnych wektorów taki, że .
Moc bazy nazywamy wymiarem V i oznaczamy dimV. Jeśli baza jest skończona (nieskończona) mówimy, że V jest skończenie (nieskończenie…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz