To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji. Punktem wyjścia niech będzie układ dynamiczny: liniowy,
stacjonarny,
wielowymiarowy.
Układ taki opisują równania układu: równanie stanu i równanie wyjścia: , gdzie wektory U(t), X(t) i Y(t) są określone następująco: U(t) - wektor sygnałów wejściowych, U(t)= X(t) - wektor stanu, X(t)= Y(t) - wektor sygnałów wyjściowych, Y(t)= Powyższy wektorowo-macierzowy opis układu rozszerza się wprowadzając transmitancję macierzową G(s). Uwzględniając transformaty wektora wejść U(t) U(s) i odpowiednio wektora wyjść Y(t) Y(s), można sformułować równanie: Y(s) = G(s)U(s) Elementami transmitancji macierzowej G(s) są transmitancje łączące poszczególne wejścia i wyjścia (rys. poniżej): Równania stanu poddajemy przekształceniom Laplace'a: i otrzymujemy: Równanie stanu przyjmuje postać:
s X(s) - A X(s)=B U(s) (sI - A) X(s) = B U(s)
Na podstawie równania stanu wyznaczamy: X(s) = B (sI - A)-1 U(s) Wyznaczoną wartość transformaty wektora stanu X(s) podstawiamy do równania wyjścia i otrzymujemy:
Y(s) = C X(s) = C B (sI - A)-1 U(s)
Dzieląc obustronnie powyższe wyrażenie na Y(s) przez U(s), otrzymujemy wyrażenie na transmitancję macierzową: gdzie: G(s) - macierzowa transmitancja operatorowa, X(s) - transformata wektora stanu, wymiar wektora X(s) - n, U(s) - transformata wektora wejść, wymiar wektora U(s) - r, Y(s) - transformata wektora wyjść, wymiar wektora Y(s) - m., A - macierz stanu o wymiarach n x n, B - macierz wejść o wymiarach n x r, C - macierz wyjść o wymiarach m x n, I - macierz jednostkowa o wymiarach n x n, adj(sI - A) - macierz dołączona (nieosobliwa) - m. nieosobliwa to taka macierz, której kolumny są liniowo niezależne), det(sI - A) - wyznacznik macierzy, macierz jednostkowa I to taka macierz w której w k-tej kolumnie na k-tym miejscu występuje 1 a pozostałe pozycje są 0. W przypadku gdy układ jest układem jednowymiarowym tj. U(t)=u(t) a Y(t)=y(t) to transmitancja macierzowa wyraża się następująco:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)