Matematyczny opis systemów-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 182
Wyświetleń: 1029
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyczny opis systemów-opracowanie - strona 1 Matematyczny opis systemów-opracowanie - strona 2 Matematyczny opis systemów-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Matematyczny opis systemów
System o wielu wejściach i wyjściach (MIMO)
Opisywany jest przez:
u=(u1,u2,...,un) wektor wejść
y=(y1,y2,...,ym) wektor wyjść
x=(x1,x2,...,xk) wektor stanu
d=(d1,d2,...,dl) wektor zakłóceń
Zazwyczaj opisywany jest równaniami stanu w postaci
gdzie A, B, C, D, E, F są macierzami.
Rodzaje systemów
Skupione: Równania zależą tylko od czasu a nie od wymiarów przestrzennych. Nie rozpatrujemy rozprzestrzeniania się pól, np. fal EM.
Rozłożone: Zmienne zależą od geometrii układu i czasu.
Liniowe: Opisywane są równaniami różniczkowymi liniowymi.
Stacjonarne: Współczynniki lub macierze nie zależą jawnie od czasu.
SLS (skupione, liniowe, stacjonarne): Macierze zawierają tylko stałe.
Bez pamięci: Zmienne wyjściowe zależą tylko od aktualnej wartości zmiennych wejściowych a nie od ich wartości w poprzednich chwilach.
Przyczynowe: Skutek nie wyprzedza przyczyny, czyli sygnał wyjściowy w danej chwili nie zależy od przyszłych wartości sygnału wejściowego. Przykład
Elementami gromadzącymi energię są L i C. Zatem zmiennymi stanu są prąd i w indukcyjności i napięcie u na pojemności.
Wielkością wyjściową niech będzie iR. Równania różniczkowe mają postać
Traktując j(t) jako źródło zakłóceń (np. szumu termicznego) odpowiednio zmodyfikuj macierze. Jest to układ SLS. Gdyby R zależało od czasu, np. R=R0[1+0,2cos(ωt)] to układ jest skupiony, liniowy, niestacjonarny. Kabel telekomunikacyjny jest układem o stałych rozłożonych.
Układy liniowe stacjonarne
Odpowiedź systemu
x(t) sygnał wejściowy
y(t) sygnał wyjściowy
h(t) odpowiedź impulsowa układu Odpowiedź impulsowa (na dystrybucję Diraca) określona jest następująco:
jeżeli x(t)=δ(t) to y(t)=h(t)
Odpowiedź na wąski impuls o szerokości Δt=tk+1-tk i wysokości x(tk) wynosi h(t)x(tk)Δt . Odpowiedź zależy tylko od odstępu czasu t-tk między przyłożeniem impulsu a chwilą obserwacji odpowiedzi (stacjonar-ność). Całkowita odpowiedź jest sumą (liniowość)
Przechodząc do granicy przy Δt→0
Odpowiedź układu jest splotem sygnału i odpowiedzi impulsowej układu.
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyką amplitudowo-fazową nazywamy transformatę Fouriera odpowiedzi impulsowej układu
Charakterystyką amplitudową A(ω) nazywamy moduł


(…)

… charakterystyki nazywamy charakterystykami częstotliwoś-ciowymi.
Przykład 1
Układ całkujący z idealnym wzmacniaczem operacyjnym Przykład 2
Filtr dolnoprzepustowy RC.
Przykład 3
Jest to układ proporcjonalno-różniczkujący ze wzmacniaczem operacyjnym o charakterystyce
Wyznacz i narysuj wszystkie charakterystyki.
Przyczynowość
Jeżeli układ SLS jest przyczynowy to odpowiedź impulsowa h(t)≡0 dla t<0.
Ponadto, jeżeli x…
… H(ω).
Z twierdzenia Borela o transformacie splotu otrzymujemy
Dla układów SLS transmitancja jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s
Przekształcając wyrażenie do postaci wielomianów i wyznaczając odwrotne transformaty Laplace'a otrzymujemy równanie różniczkowe układu SLS
gdzie warunki początkowe są zerowe.
Operując transmitancjami można łatwo wyznaczać transmitancje układów złożonych. Np. dla połączenia łańcuchowego układów z przykładu 1 i 2 macierz łańcuchowa jest iloczynem [A]=[A1][A2], a ponieważ wzmacniacz operacyjny jest idealny to obciążanie go filtrem nie zmienia transmitancji napięciowej układu 1. Zatem współczynnik a11 macierzy [A] jest iloczynem współczynników a11 macierzy [A1] i [A2]. Stąd
Mianownik M(s)=ansn+...+a1s+a0 transmitancji H(s) nazywany jest wielo-mianem charakterystycznym i rozkład jego zer ma bardzo istotny wpływ na właściwości układu. Podobnie jest dla układu MIMO. Wyznaczając transformaty otrzymuje się
gdzie I jest jednostkową macierzą diagonalną. Wielomian charakterystyczny
1

... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz