Zestaw 1 1. Rozstrzygnąć prawdziwość zdań: (a) ∀x 0 ∃a ∈ R : x 2 0 ∀y 0 : x = y ⇒ x+y 2 √ xy, (c) ∃x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2, (f) ∀x ∈ R ∃∀ ∈ R : (x − y) 2 = x2 − y2. 2. Podać zaprzeczenie zdania 1(f). Czy z 1(d) wynika 1(e). 3. Wskazać wszystkie liczby x ∈ R, dla których prawdziwa jest forma zdaniowa: (a) 2|x| − 4 0 ∨ cos x 0. 4. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości: (a) A ∪ (B \ C) = [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D], (c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). 5. Zbadać jakie relacje inkluzji (” ⊂ ”) zachodzą między zbiorami A, B i C jeśli prawdziwa jest równość: (a) (A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = B, (b) (A \ B) ∪ C = A ∪ B, (c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B. 6. Zilustrować graficznie zbiory: A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A , B ⊂ R2 jeśli: (a) A = {(x, y) ∈ R2 : y − 2x
(…)
… ∪ B) = B,
(b) (A \ B) ∪ C = A ∪ B,
(c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B.
6. Zilustrować graficznie zbiory: A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A , B ⊂ R2 jeśli:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 : y − 2x < 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x − 2y < 0},
(b) A = (x, y) ∈ R2 :
7. Wyznaczyć
1
3
At oraz
t∈T
|x| + 1 |y| ≤ 1 , B = (x, y) ∈ R2 :
2
x2
4
At dla następujących rodzin zbiorów:
t∈T
1
+
y2
9
≤1 .
(a) At = x ∈ R :
1
t
≤x≤
4
t
, t…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)