Twierdzenia o funkcjach i ich pochodnych - zestaw zadań.

Zestaw zada ń  z analizy matematycznej dla  IM 8. Funkcje (twierdzenia o funkcjach z pochodnymi)        1. Korzystaj ą c z twierdzenia Lagrange’a uzasadni ć  podane nierówno ś ci  a)  ( ) 0 dla , 1 ln 1 + x x e x ;  c)  1 dla , x ex e x ;  d)  b a a b b a ≤ ≤ − ≤ 1 dla , ln .  2. Znale źć  przedziały monotoniczno ś ci podanych funkcji  a)  ( ) 2 3 5 3 5 + − = x x x f ;  b)  ( ) x x x f ln = ;  c)  ( ) ( )  x x x f 3 − = ;  d)  ( ) x x x f sin + = ;  e)  ( ) 2 3 − = x x x f ;  f)  ( ) x e x f x  cos = .  3. Korzystaj ą c z reguły de L’Hospitala obliczy ć  podane granice  a)  ( ) x x x + → 1 ln lim 0 ;  b)  x x x sin ln ln lim 0 + → ;  c)  ( ) 2 2 1 1 2 2 lim − − − → − x x x x ;  d)                  − −∞ → 1 lim 1 x x e x ;  e)  ( ) x x x x ln 1 ln arctg 2 lim − + − ∞ → π ;  f)        − → 2 0 1 sin 1 lim x x x x ;  g)  x x x sin 0 lim + → ;  h)  ( )  x x x 1 1 lim + ∞ → .  4. Napisa ć  wzór Taylora z reszt ą  Lagrange’a dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz  n   a)  ( ) 3 , 2 , 1 0 = = − = n x x x x f ;  b)  ( ) 3 , 1 , 0 = = = n x x x f ;  c)  ( ) 2 , 1 , 0 3 = − = = n x x x f ;  d)  ( ) 2 , 1 , 1 0 2 = = = n x x x f .  5. Napisa ć  wzór Maclaurina dla podanych funkcji z reszt ą   Rn   a)  ( ) x xe x f = ;  b)  ( ) x x f sinh = ;  c)  ( ) x x f sin = ;  d)  ( ) x x f cos = .    ... zobacz całą notatkę