Funkcje, granice - omówienie

Zestaw zada ń  z analizy matematycznej dla  IM  4. Funkcje (granice, asymptoty)    1. Korzystaj ą c z definicji Heinego granicy funkcji uzasadni ć  podane równo ś ci  a)  ( ) 1 7 2 lim 4 = − → x x ;  b)  2 1 2 lim = + ∞ → x x x ;  c)  ∞ = + → x x 1 lim 0 ;  d)  ( ) −∞ = − −∞ → 2 1 lim x x .  2. Uzasadni ć ,  ż e podane granice nie istniej ą   a)  3 0 1 lim x x → ;  b)  x x 1 sin lim 0 + → ;  c)  2 cos lim x x ∞ → ;  d)  x x e 1 0 1 1 lim + → .  3. Korzystaj ą c z twierdze ń  o arytmetyce granic funkcji obliczy ć  podane granice  a)  1 1 lim 2 3 2 3 1 − − + − + − → x x x x x x x ;  b)  x x x x 3 3 0 1 1 lim − − + → ;  c)  2 1 2 1 lim x x x + + + ∞ → ;  d)  2 3 3 10 10 10 lim 6 − − → x x x ;  e)  x x x 1 arcctg lim 3 0 − → ;  f)  x x x x x 3 5 9 25 lim 0 − − → ;    g)  1 1 lim 4 3 1 − − → x x x ;   h)  2 3 1 2 lim + + ∞ → x x x ;  i)  5 tg 1 tg lim 2 2 2 + + − → x x x π ;  j)  x x x x 2 1 1 lim 0 − − + → ;  k)  2 6 1 1 1 lim x x x − − → ;   l)  ( ) 5 4 5 lim 2 − + − ∞ → x x x x x . 4. Korzystaj ą c z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadni ć  podane równo ś ci  a)  0 1 sin lim 0 = → x x x ;  b)  1 cos sin lim 2 2 = − + ∞ → x x x x x ;  c)  ( ) ( ) 2 log 1 3 ln 1 2 ln lim 3 = + + ∞ → x x x ;  d)  0 1 arctg lim 3 0 = → x x x . 5. Korzystaj ą c z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadni ć  podane równo ś ci  a)  ( ) −∞ = − ∞ → x x x sin 2 lim ;  b)  ∞ = − − → x x x 2 0 1 lim ;  c)  ∞ = + → 2 0 1 sin 2 lim x x x ;  d)  ( ) ∞ = + ∞ → x x x cos 2 2 lim .   6. Znale źć  asymptoty podanych funkcji a)  ( ) x x x f sin = ;  b)  ( ) 1 1 3 − − = x x x f ;  c)  ( ) 2 1 1 x x f − = ;  d)  ( ) x x e x f x + = − sin ;  e)  ( ) 9 3 2 − − = x x x f ;  f)  ( ) π − = x x x f sin ;  g)  ( ) ... zobacz całą notatkę