Definicja
Niech będą
Funkcję h
oznaczamy
3.9 (Funkcji złożonej)
dane dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z .
: X → Z taką, że (∀ x ∈ X) h(x) = g(f (x)) nazywamy funkcją złożoną i
h = g◦f.
Przykład 3.5 X = Y = Z = R , f (x) = sin x , g(y) = 2y , to h(x) = 2sin x .
Definicja 3.10 ( Funkcji odwrotnej)
Niech funkcja, f : X → Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f −1 : Y → X określoną następująco:
f −1 (y)) = x ⇔ f (x) = y
Przykład 3.6 Funkcję odwrotną do funkcji f (x) = sin x, X = − π , π , Y = −1, 1
2 2
oznaczamy f −1 (x) = arc sin x . Dziedziną jest X = −1, 1 ,a zbiorem wartości
Y = −π, π .
2 2
3.2
Granica funkcji
Definicja 3.11 (Punktu wewnętrznego zbioru)
Punkt x0 ∈ R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
(∃ δ ∈ R+ ) : (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.
Definicja 3.12 (Punktu skupienia zbioru)
Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , jeśli
(∃ {xn } ⊂ A, xn = x0 ) :
lim xn = x0
n→∞
Uwaga 3.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
Definicja 3.13 (Domknięcia zbioru)
Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
x0 ∈ A ⇔ (∃ {xn } ⊂ A) :
lim xn = x0
n→∞
Uwaga 3.2 Zauważmy, że A ⊂ A , ponieważ każdy element x ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego xn = x0 .
Niech dane będą: zbiór A ⊂ R , funkcja f : A → R i x0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 3.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
(∀{xn } ⊂ A, xn = x0 ) [ lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = g]
n→∞
12
n→∞
Definicja 3.15 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
(∀ε 0) (∃ δ(ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A) [0 0) (∃ δ(ε, 0) 0) (∀x ∈ R) [0 x0 )
x→x+
0
[ lim xn = x0 ⇒ lim f (x) = g]
n→∞
n→∞
Uwaga 3.4 Podane definicje granic: lewostronnej i prawostronnej są równoważne następującym:
lim f (x) = g ⇔ (∀ε 0) (∃ δ1 (ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A) [ x0 − δ1 0) (∃ δ2 (ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A) [ x0 0) (∃ δ1 (ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A) [ x0 − δ1 0) (∃ δ2 (ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A) [ x0 0) (∃ δ = min(δ1 , δ2 )) (∀x ∈ A) [0 0) (∀x ∈ A) [ 0 E]
x→x0
Analogicznie określa się granice niewłaściwe:
lim f (x) = +∞
lim f (x) = −∞ ,
x→x0
x→x−
0
lim f (x) = +∞ ,
x→x+
0
lim f (x) = −∞ ,
x→x−
0
lim f (x) = −∞
x→x+
0
1
Przykład 3.10 Udowodnić, że lim 2 x = +∞ .
x→0+
1
Dowód: Niech E 1 będzie dowolną liczbą. Wówczas 2 x E wtedy i tylko wtedy, gdy
1
x
log2 E, czyli x E .
Definicja 3.20 ( Granicy w nieskończoności)
Liczba g jest granicą funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
(∀ε 0) (∃M (ε) 0) (∀x ∈ R)[ x M ⇒ |f (x) − g| 0 . Dla dowolnego ustalonego ε 0 nierówność
1
x3
x M nierówność
przy x → +∞ .
1
x3
=|
1
x3
1
√
3
ε
1
√
3
. Przyjmując M =
ε
otrzymamy dla
− 0 | 0) (∃ δ(ε, x0 ) 0) (∀x ∈ A)[ |x − x0 | → R na przedziale domkniętym oznacza w szczególności , że lim f (x) = f (a) i lim f (x) = f (b) .
x→a+
x→b−
Przykład 3.17
Wykazać , że funkcja f (x) = sin x jest ciągła na R.
Dowód: Niech x0 będzie dowolnym punktem i x0 ∈ R . Ze wzoru na różnicę sinusów
sin x − sin x0 = 2 sin
16
x + x0
x − x0
cos
2
2
(…)
…, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeżeli f : A → R , g : A → R , i x0 jest punktem skupienia zbioru A oraz istnieją
granice lim f (x) , lim g(x), to:
x→x0
x→x0
1. Istnieje granica sumy tych funkcji w punkcie x0 i równa się sumie granic:
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
Analogiczną własność ma różnica funkcji.
2. Dla dowolnej liczby rzeczywistej λ istnieje lim (λf (x)) i
x→x0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)