Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Granica i ciągłość funkcji.
1
Granica i ciągłość funkcji.
sin x
x→0 x
• Podstawowe granice: lim
= 1,
lim
x→±∞
1+
1 x
x
= e,
lim
x→±∞
1−
1 x
x
= 1,
e
1
lim (1 + x) x = e.
x→0
• Gdy funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x0 , to funkcję tę nazywamy ciągłą w
punkcie x0 , jeżeli lim f (x) = f (x0 )
x→x0
• Tw. Weierstrassa.
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym a, b , to jest na tym przedziale ograniczona
i istnieją w tym przedziale takie dwa punkty c1 i c2 , że
∀ f (c1 ) ≤ f (x) ≤ f (c2 )
x∈ a,b
• Tw. Darboux.
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym a, b , f (a) = f (b) oraz liczba q zawarta
jest pomiędzy f (a) i f (b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f (c) = q.
1. Naszkicować funkcje, o których wiemy że:
a)
b)
lim f (x) = 1, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = 5, lim f (x) = −3, lim f (x) = −1
x→−∞
x→1−
x→1+
x→2−
x→∞
x→2+
lim f (x) = ∞, lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = 1
x→−∞
x→1−
x→1+
2. Pokazać, że nie istnieją granice funkcji:
1
a) lim sin
x→0
x
b) lim
x→0
x→2−
√
1 − cos 2x
x
c) lim 21/ sin x
x→π
3. Policzyć granice funkcji:
a) lim (−3x2 + x − 2)
x→−∞
sin 3x
d) lim
+1
x→0
x
tg x − sin x
g) lim
x→0
x3
√
j) lim
x→∞
√
x+ x+ x
√
x+1
1
1
m) lim x sin ; lim x sin
x→∞
x→0
x
x
x + 2 2x
p) lim
x→∞ x − 3
x→∞
x→2+
x − sin x
x→0 x + sin x
√
f ) lim x( x2 + 1 − x)
b) lim tg 6x ctg 4x
c) lim
x→0
x−1 x
x→∞ x + 1
arc sin x
h) lim
x→0
2x
ln(1 + x)
k) lim
x→0
x
3x4 − 4x3 + 1
n) lim
x→1
(x − 1)2
2x + 1 x
r) lim
x→∞ 2x − 5
e) lim
x→∞
2x
x→0 tg 5x
i) lim
1
l) lim x2 x
x→0−√
x+3−3
o) lim
x→6
x−6
ln x3 − 3
s) lim
x→ e x − e
4. Zbadać ciągłość funkcji:
a) f (x) =
d) f (x) =
1−x2
1+x2
x 1
5 |x − 1| 1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)