Fragment notatki:
VII. Granica i ciągłość funkcji
1. Granica funkcji
Definicja 1. Punkt x0 ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru X, gdy w każdym jego sąsiedztwie1
S(x0 , ε) istnieją punkty ze zbioru X. Dokładniej, gdy
∀ S(x0 , ε) ∩ X = ∅.
ε0
q
q
qqq q q
x0 − ε
x0
q
-
x0 + ε
Przykład 1. Punkt a jest punktem skupienia zbioru X = (a, +∞). Istotnie, dla każdego sąsiedztwa
S(a, ε) punktu a liczba
a + (a + ε)
∈ (a, +∞) ∩ S(x0 , ε).
2
r
a
a+(a+ε)
2
-
a+ε
Niech f : X → R i niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X.
Definicja 2 (Heinego). Liczbę g ∈ R nazywamy granicą (właściwą) funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
dla każdego ciągu (xn ) o wyrazach xn ∈ X \ {x0 }, zbieżnego do x0 , ciąg (f (xn )) wartości funkcji
jest zbieżny do g. Zdanie: "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 " zapisujemy
lim f (x) = g
x→x0
lub
f (x) −→ g.
x→x0
Przykład 2. Granica funkcji
x
f (x) = √ ,
x
1
x ∈ (0, +∞)
Przypomnijmy, że sąsiedztwem punktu x0 nazywamy sumę przedziałów (x0 − ε, x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε), gdzie ε 0.
VII. Granica i ciągłość funkcji
w punkcie x0 = 0 jest równa 0. Istotnie, dla dowolnego ciągu (xn ) o wyrazach xn ∈ (0, +∞),
zbieżnego do 0 mamy
√
√
xn
lim f (xn ) = lim √ = lim xn = 0 = 0.
n→∞
n→∞
xn n→∞
Zatem
x
lim √ = 0.
x
x→0
Przykład 3. Niech
1
f (x) = sin ,
x
x ∈ R \ {0}.
Weźmy dwa ciągi
xn =
1
,
2nπ
yn =
π
2
1
,
+ 2nπ
n ∈ N.
Oczywiście xn = 0 i yn = 0 dla n ∈ N oraz
lim xn = 0
lim yn = 0.
i
n→∞
n→∞
Dalej mamy
lim f (xn ) = lim sin(2nπ) = lim 0 = 0,
n→∞
n→∞
n→∞
oraz
π
+ 2nπ = lim 1 = 0.
n→∞
2
Ponieważ ciągi f (xn ) i f (yn ) są zbieżne do różnych granic, więc zgodnie z definicją – nie istnieje
granica
1
lim sin .
x→0
x
Definicja 3 (Cauchy’ego). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0 , jeżeli dla każdego
otoczenia U (g, ε) punktu g istnieje takie sąsiedztwo S(x0 , δ) punktu x0 , że
lim f (yn ) = lim sin
n→∞
n→∞
∀
f (x) ∈ U (g, ε).
x∈S(x0 ,δ)∩X
Inaczej mówiąc:
lim f (x) = g
x→x0
⇔
∀
∃
∀
ε0 δ0 x∈X
0 0.
51
VII. Granica i ciągłość funkcji
Definicja 4. Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x0 ∈ R granicę niewłaściwą +∞
(odpowiednio −∞), gdy dla każdego ciągu (xn ) zbieżnego do x0 o wyrazach xn ∈ X, różnych od x0 ,
lim f (xn ) = +∞,
(odpowiednio lim f (xn ) = −∞).
lim f (x) = +∞,
(odpowiednio lim f (x) = −∞).
n→∞
n→∞
Piszemy wówczas
x→x0
x→x0
Definicja 5. Granicą lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie x0 nazywamy odpowiednio:
lim f (x) = lim f − (x),
gdzie f − (x) = f (x) dla x ∈ X ∩ (−∞, x0 ),
lim f (x) = lim f + (x),
gdzie f + (x) = f (x) dla x ∈ X ∩ (x0 , +∞).
x→x−
0
x→x+
0
x→x0
x→x0
Przykład 4. Rozważmy funkcję
f (x) =
|x|
,
x
x ∈ R \ {0}.
Wprost z definicji granicy lewostronnej i prawostronnej oraz własności wartości bezwzględnej wynika,
że
|x|
−x
lim f (x) = lim
= lim
= lim (−1) = −1,
−
− x
− x
x→0
x→0
x→0
x→0−
ponieważ przy x → 0− wielkość x jest liczba ujemną. Podobnie
|x|
x
= lim
= lim 1 = 1.
+ x
x
x→0
x→0+
lim f (x) = lim
x→0+
x→0+
Twierdzenie 2.
⇔
lim f (x) = g
x→x0
lim f (x) = lim f (x) = g.
x→x−
0
x→x+
0
Przykład 5. Funkcja f : R \ {1} → R określona wzorem
x2 −1
x−1
2x
f (x) =
dla x 1,
ma w punkcie x0 = 1 granicę równą 2. Istotnie, wystarczy stwierdzić, że obie granice jednostronne
tej funkcji w punkcie x0 = 1 wynoszą 2. Mamy:
x2 − 1
= lim (x + 1) = 2,
x→1−
x→1− x − 1
x→1−
lim f (x) = lim 2x = 2.
lim f (x) = lim
x→1+
x→1+
Przykład 6. Obliczmy granice jednostronne funkcji
1
x ∈ R \ {0}
f (x) = e x ,
w punkcie x0 = 0. W tym celu zauważmy najpierw, że
x → 0− ⇒
1
→ −∞.
x
Stąd
1
lim f (x) = lim e x = 0.
x→0−
x→0−
Podobnie
1
lim f (x) = lim e x = +∞.
x→0+
x→0+
1
x
Stąd na podstawie twierdzenia 2 granica lim e nie istnieje.
x→0
52
VII. Granica i ciągłość funkcji
Przykład 7. Rozważmy funkcję
1
f (x) = arctg ,
x
x ∈ R \ {0}.
Otrzymujemy
lim f (x) = lim arctg
x→0−
x→0−
1
π
=− ,
x
2
oraz
lim f (x) = lim arctg
x→0+
x→0+
1
π
= .
x
2
Zatem granica lim f (x) nie istnieje.
x→0
Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f : X → R i g : X → R posiadają granice w punkcie x0 , to
1) lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x),
x→x0
x→x0
x→x0
2) lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x),
x→x0
x→x0
x→x0
3) lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x),
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
4) lim
x→x0
lim f (x)
=
x→x0
lim g(x) ,
x→x0
o ile lim g(x) = 0 i g(x) = 0 dla x ∈ S(x0 , δ).
x→x0
x→x0
Twierdzenie 4 (o granicy złożenia funkcji). Niech f : X → R, g : Y → R. Jeśli:
1) lim f (x) = y0 ,
x→x0
2) f (x) = y0 dla x ∈ S(x0 , δ), gdzie S(x0 , δ) jest pewnym sąsiedztwem punktu x0 ,
3) istnieje granica lim g(y),
y→y0
to istnieje granica lim g(f (x)) = lim g(y).
x→x0
y→y0
Twierdzenie 5. Jeżeli funkcja f jest określona i monotoniczna na przedziale (a, b), to dla każdego
x0 ∈ (a, b) istnieją skończone granice jednostronne
lim f (x)
x→x−
0
oraz
lim f (x).
x→x+
0
Co więcej istnieją również granice lim f (x) i lim f (x) ale nie zawsze są skończone.
x→a+
Własność 3. Niech a 0 i x0
0
x =
1) lim a
1
x→−∞
+∞
0
x =
2) lim a
1
x→+∞
+∞
x→b−
0.
dla
dla
dla
a 1,
a = 1,
a ∈ (0, 1),
dla
dla
dla
a ∈ (0, 1),
a = 1,
a 1,
3) lim ax = 1,
x→0 √
√
4) lim n x = n x0 ,
x→x0
ax −1
= ln a,
x→0 x
lim sin x = 1,
x→0 x
5) lim
6)
7) lim 1 + x
x→0
1
x
= e.
53
VII. Granica i ciągłość funkcji
2. Asymptoty funkcji
Z niektórymi krzywymi (a więc także z krzywą y = f (x) będącą wykresem funkcji f ) związane są
pewne proste, które pozwalają wyobrazić sobie kształt tych krzywych. Prosta nazywa się asymptotą
krzywej y = f (x), jeśli odległość punktu M leżacego na krzywej od tej prostej dąży do zera przy
ruchu punktu M wzdłuż krzywej w nieskończoność.
Rozróżniamy trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i ukośne (pochyłe).
Definicja 6. Jeśli w punkcie x0 funkcja f ma nieskończoną granicę jednostronną, to prosta x = x0
nazywa się asymptotą pionową funkcji f .
Definicja 7. Jeśli istnieje skończona granica
lim f (x) = a
lim f (x) = a,
lub
x→−∞
x→+∞
to prosta y = a nazywa się asymptotą poziomą funkcji f .
Definicja 8. Jeśli
lim
x→−∞
f (x) − ax − b = 0
lim
lub
x→+∞
f (x) − ax − b = 0,
to prosta y = ax + b nazywa się asymptotą ukośną funkcji f .
Wśród asymptot wyróżniamy jeszcze asymptoty obustronne i jednostronne. Mówiąc niedokładnie, asymptota będzie dwustronna jeśli będzie asymptotą w swoich dwóch "końcach" (lewym i prawym), w przeciwnym przypadku będzie to asymptota jednostronna.
Twierdzenie 6. Jeżeli funkcja f jest określona w sąsiedztwie −∞ (odpowiednio +∞) oraz istnieją
skończone granice
f (x)
lim
=a
i
lim f (x) − ax = b,
x→−∞ x
x→−∞
odpowiednio
lim
x→+∞
f (x)
=a
x
lim
i
x→+∞
f (x) − ax = b,
to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w −∞ (odpowiednio w +∞).
6
x = x0
y=c
-
y = ax + b
1
Przykład 8. Prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji y = x . Prosta y = 0 jest
asymptotą poziomą tej w funkcji w +∞ i w −∞. Prosta y = 2x + 3 jest asymptotą ukośną funkcji
1
y = 2x + 3 + x w +∞ i w −∞.
54
VII. Granica i ciągłość funkcji
3. Ciągłość funkcji
Niech f : X → R będzie funkcją określoną na zbiorze X i niech x0 ∈ X. Istnieją, tak jak
poprzednio, dwie równoważne definicje ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 9 (Heinego). Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0 , gdy dla każdego ciągu (xn ) o
wyrazach xn ∈ X, zbieżnego do x0 , ciąg (f (xn )) wartości funkcji f jest zbieżny do f (x0 ).
Definicja 10 (Cauchy’ego). Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0 , jeżeli dla każdego otoczenia
U f (x0 ), ε punktu f (x0 ) istnieje takie otoczenie U (x0 , δ) punktu x0 , że
∀
x∈U (x0 ,δ)∩X
f (x) ∈ U f (x0 ), ε .
Inaczej mówiąc:
∀
∃
∀
ε0 δ0 x∈X
|x − x0 | 0.
2
Zatem z powyższego wniosku istnieje x0 ∈ (−1, 1) takie, że f (x0 ) = 0, czyli
2x0 = (x0 )2 ,
co oznacza, że dane równanie ma co najmniej jedno rozwiazanie. Rozwiązanie to mieści się w przedziale (−1, 1). Istnieją metody pozwalające wyznaczyć przybliżoną wartość x0 z dowolną dokładnością.
55
VII. Granica i ciągłość funkcji
Twierdzenie 13 (Weierstrassa). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym a, b , to jest
w nim ograniczona i przyjmuje swoje kresy, tzn. istnieją punkty x1 , x2 ∈ a, b takie, że
f (x1 ) = inf f a, b
f (x2 ) = sup f a, b .
i
Twierdzenie 14 (o lokalnym zachowaniu znaku). Jeżeli funkcja f : X → R jest ciągła w punkcie
x0 oraz f (x0 ) 0, to istnieje takie otoczenie U (x0 , ε) punktu x0 , że f (x) 0 dla każdego x ∈
U (x0 , ε) ∩ X. Analogiczna teza zachodzi przy założeniu, że f (x0 ) 3 .
2
Na podstawie twierdzenia 8 i twierdzenia o ciągłości funkcji złożonej funkcja f jest ciągła w każdym
3
punkcie x ∈ R \ {−2, 0, 2 }.
1) Ponieważ f (−2) = 5 i
lim f (x) = lim 5 = 5 oraz
x→−2−
x→−2−
lim f (x) = lim (2−x + 1) = 5,
x→−2+
x→−2+
więc −2 jest punktem ciągłości funkcji f .
2) Ponieważ f (0) = 20 + 1 = 2 i
lim f (x) = lim (2−x + 1) = 2 oraz
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim log 1 x +
x→0+
x→0+
2
1
1
= log 1 = 1,
2 2
2
więc 0 jest punktem nieciągłości funkcji f .
3) Ponieważ f ( 3 ) = log 1 2 = log 1 ( 1 )−1 = −1 i
2
2
2
2
lim f (x) = lim log 1 x +
−
x→ 3
2
więc
3
2
3−
x→ 2
2
1
= log 1 2 = −1 oraz
2
2
lim f (x) = lim
+
x→ 3
2
+
x→ 3
2
−
2
= −∞,
2x − 3
jest punktem nieciągłości funkcji f .
3
Podsumowując funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x ∈ R \ {0, 2 }.
56
(…)
….
Twierdzenie 9. Niech f, g : X → R. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe, to funkcje f + g, f − g, f · g są
ciągłe w zbiorze X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze X \ {x ∈ X : g(x) = 0}.
g
Twierdzenie 10 (o ciągłości funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 , a funkcja
g jest ciągła w punkcie y0 = f (x0 ), to funkcja g ◦ f jest ciągła w punkcie x0 .
Twierdzenie 11 (o ciągłości funkcji odwrotnej). Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
Twierdzenie 12 (własność Darboux). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym a, b
oraz
1) f (a) < f (b), ewentualnie f (b) < f (a),
2) y0 ∈ (f (a), f (b)), odpowiednio y0 ∈ (f (b), f (a)),
to istnieje taki punkt x0 ∈ (a, b), że y0 = f (x0 ).
Wniosek 2. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym a, b i f (a) · f (b) < 0 (to znaczy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)