Asymptoty wykresu funkcji - omówienie

• I warunek
Niech f ∈ C 2 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′ zmienia znak przy przejściu przez punkt
x0 .
• II warunek
Niech f ∈ C 3 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′′ (x0 ) = 0 .
Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty
przegięcia funkcji :
a) f (x) = x3 ,
4.7
c) f (x) = xe−x ,
b) f (x) = sinh x ,
d) f (x) = e−x
2
Asymptoty wykresu funkcji
Definicja 4.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli
lim f (x) = ∞ albo lim f (x) = −∞
x→a−
x→a−
Definicja 4.17 (Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli
lim f (x) = ∞ albo lim f (x) = −∞
x→a+
x→a+
Jeżeli prosta x = a jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną,
to mówimy, że jest asymptotą pionową obustronną.
Uwaga 4.11 (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)
Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach swej
dziedziny.
Przykład 4.32
Zbadać, czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji:
a) f (x) =
sin2 x
, x=0
x
1
b) g(x) = e x , x = 0
c) h(x) =
x2 + x − 2
, x=2
x−2
Definicja 4.18 (Asymptota ukośna wykresu funkcji)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = f (x) w +∞ wtedy i
tylko wtedy, gdy
lim (f (x) − ax − b) = 0
x→+∞
Podobnie definiuje się asymptotę ukośną w −∞. Jeżeli a = 0 , to asymptotę y = b
nazywamy poziomą.
Twierdzenie 4.18
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
i b = lim (f (x) − a x)
x→+∞
x→+∞ x
a = lim
Przykład 4.33 Znaleźć asymptoty wykresu funkcji:
f (x) =
x
1−x ,
f (x) =
|x|
x ,
f (x) =
x2
|x+1| ,
1
f (x) = x2 e−x , f (x) = xe x .
31
... zobacz całą notatkę