Tadeusz Świrszcz, Matematyka, wykład, 2011/2012
1
0.1.
Oznaczenia logiczne i teoriomnogościowe.
0.2.
Liczby rzeczywiste: przedziały liczbowe, wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej, zbiory ograniczone, kresy, aksjomat ciągłości. Definicja liczb zespolonych. Definicja funkcji.Składanie
funkcji. Funkcje odwracalne i odwrotne. Przykłady funkcji odwrotnych (pierwiastki).
0.3.
Definicja i podstawowe własności funkcji trygonometrycznych.
Funkcja arc sin : [−1, 1] → − π , π zdefiniowana przez arc sin x = y takie, że y ∈ [− π , π ]
2 2
2 2
i sin y = x dla x ∈ [−1, 1], nosi nazwę arcus sinus. Funkcja arc cos : [−1, 1] → [0, π] zdefiniowana
przez arc cos x = y takie, że y ∈ [0, π] i cos y = x dla x ∈ [−1, 1], nosi nazwę arcus cosinus.
Funkcja arctg : R → − π , π zdefiniowana przez arctg x = y takie, że y ∈ (− π , π ) i tg y = x dla
2 2
2 2
x ∈ R, nosi nazwę arcus tangens. Funkcja arcctg : R → (0, π) zdefiniowana przez arc ctg x = y
takie, że y ∈ (0, π) i ctg y = x dla x ∈ R, nosi nazwę arcus cotangens.
0.4.
Funkcje monotoniczne.
0.5.
Definicja i podstawowe własności potęgi liczby rzeczywistej dodatniej o wykładniku rzeczywistym. Funkcje potęgowe. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
1. Granica funkcji
1.1.
DEFINICJA. Niech x0 ∈ R i niech r będzie liczbą dodatnią. Przedział otwarty (x0 − r, x0 + r)
będziemy nazywali otoczeniem o promieniu r punktu x0 i oznaczali symbolem O(x0 , r). Zbiór
(x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r) będziemy nazywali sąsiedztwem o promieniu r punktu x0 i oznaczali
symbolem S(x0 , r).
1.2.
DEFINICJA. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie punktu x0 . Mówimy, że
liczba a jest granicą funkcji f w punkcie x0 i piszemy lim f (x) = a, jeśli
x→x0
(∀ ε 0)(∃ δ 0)(∀ x ∈ S(x0 , δ)) f (x) ∈ O(a, ε).
1.3.
Przykłady. Dla każdego x0 ∈ R
1◦ lim C = C,
x→x0
2◦ lim x = x0 .
x→x0
sin x
= 1.
x→0 x
3◦ lim
1.4.
TWIERDZENIE. Niech lim f (x) = a i niech lim g(x) = b. Wtedy
x→x0
x→x0
1◦ lim f (x) ± g(x) = a ± b,
x→x0
2◦ lim f (x)g(x) = ab,
x→x0
3◦ jeśli b = 0, to lim
x→x0
1.5.
f (x)
a
= .
g(x)
b
Przykłady. Jeśli f (x) jest wielomianem, tzn. f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 dla x ∈ R, to
lim f (x) = f (x0 ) dla dowolnego x0 ∈ R.
x→x0
Jeśli f (x) jest funkcją wymierną (ilorazem dwóch wielomianów), to lim f (x) = f (x0 ) dla
x→x0
dowolnego x0 z dziedziny funkcji f .
1.6.
TWIERDZENIE. Jeśli lim f (x) = a i lim g(y) = b, to lim g(f (x)) = b.
x→x0
y→a
x→x0
Tadeusz Świrszcz, Matematyka, wykład, 2011/2012
1.7.
TWIERDZENIE (o zachowywaniu nierówności przy przejściu do granicy). Niech lim f (x) = a
x→x0
i niech lim g(x) = b. Jeśli f (x)
x→x0
1.8.
2
g(x) w pewnym sąsiedztwie punktu x0 , to a
TWIERDZENIE (o trzech funkcjach). Jeśli lim f (x) = a, lim h(x) = a i f (x)
x→x0
x→x0
b.
g(x)
h(x)
w pewnym sąsiedztwie punktu x0 , to lim g(x) = a.
x→x0
1.9.
Granice funkcji w ±∞. Twierdzenia o granicach w ±∞. Asymptoty poziome.
1
x
x
1.10.
TWIERDZENIE. Granica lim 1 +
x→∞
wartość wynosi 2,72.
1.11.
1
DEFINICJA.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)