To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych.
1
Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji.
• Tw. Rolle’a
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale a, b
to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f (c) = 0
i istnieje f (x) na przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b),
• Tw. Lagrange’a
Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma pierwszą pochodną
wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że f (x) − f (x0 ) = f (c)(x − x0 )
• Tw. Taylora. Jeżeli funkcja f (t) ma ciągłe pochodne do rzędu (n − 1) włącznie na przedziale
domkniętym o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki
punkt c, leżący między x0 i x, że
n−1
f (x) =
k=0
f (k) (x0 )
f (n) (c)
(x − x0 )k +
(x − x0 )n
k!
n!
• Tw. de l’Hospitala. Jeżeli
f (x)
f (x)
i
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x0 (x0 może być ∞)
g(x)
g (x)
lim f (x) = lim g(x) = 0 albo lim f (x) = lim g(x) = ∞ (−∞ lub + ∞)
1. funkcje
2.
x→x0
x→x0
lim
3. istnieje
x→x0
x→x0
x→x0
f (x)
(skończona lub nieskończona) to istnieje także
g (x)
lim
x→x0
lim
x→x0
f (x)
, przy czym
g(x)
f (x)
f (x)
= lim
x→x0 g (x)
g(x)
• Prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) krzywej y = f (x) wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieją granice skończone lim f (x) = m i lim [f (x) − mx] = n (dla asymptoty
x
x→−∞
x→−∞
prawostronnej:
lim f (x)
x→+∞ x
=m i
lim [f (x) − mx] = n )
x→+∞
1. Wiemy, że f jest ciągła w
a, b i różniczkowalna w (a, b) oraz że f jest ciągła i różniczkowalna
w (a, b). Istnieje x0 ∈ (a, b), taki że f (a) = f (x0 ) = f (b). Wykazać, że istnieje c ∈ (a, b), takie że
f (c) = 0.
2. Wykazać, że równanie x3 − 3x + c = 0 nie może mieć dwóch różnych pierwiastków w przedziale
0, 1 .
3. Policzyć, stosując tw. de l’Hospitala, granice funkcji:
ex − e−x + 3x
x→0
x
ln sin x
x→0+ ln sin 2x
1
f ) lim ln
x→2+
x−2
a) lim
b) lim
e) lim (x − 1)(x−1)
x→1+
i) lim
x→∞
m) lim
x→∞
1
x
(x + 2)e − x
2
arc tg x
π
c) lim
x→0
1
1
− x
x e −1
d) lim (x − 1) ln(x − 1)
x→1+
(x−2)
g) lim (tg x)tg 2x
π
x→ 4
x2
j) lim x
x→0+
x
n) lim ln x ln(1 − x)
x→1−
1 − cos x2
k) lim 2
x→0 x sin x2
1
1
o) lim
−
x→1 ln x
x−1
h) lim
x→∞
π
− arctgx
2
l) lim [ln(x + 1)]x
x→0
p) lim
x→0
sin x
x
1
x2
4. Znaleźć asymptoty funkcji:
1
a) f (x) = xe x
b) f (x) = x ln e +
1
x
c) f (x) =
1
x−1
e
d) f (x) =
x2 − x − 4
2x + 2
1
ln x
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych.
2
5. Znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
a) f (x) = xe−x
e) f (x) = earc tg x
2
1
b) f (x) = x − x3 − 4 ln |x| c) f (x) =
3
1 − x2
x3
f ) f (x) = ln(1 + x2 )
g) f (x) = 2
x + 12
ln x
d) f (x) = √
x
h) f (x) = x2 ln x
6. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a) f (x) =
e) f (x) =
√
3
√
2x2 − x3
b) f (x) = x2 e1/x
8x2 − x4
f ) f (x) =
x
ln x
c) f (x) = xe−1/(x+1)
√
x
g) f (x) =
x−1
d) f (x) =
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)