Matematyka - strona 6

Zestaw 7 1. Korzystaj¡c z denicji granicy (wªa±ciwej lub niewªa±ciwej) ci¡gu wykaza¢, »e: (a) lim n→∞ 2n2 + 5 n2 + 1 = 2 , (b) lim n→∞ 1 2n − 7 = 0, (c) lim n→∞ 1 − 3n 2 = −∞. 2. Obliczy¢ granic¦ (o ile istnieje) ci¡gu (an) , je±li (a) an = n + 3 √ 2n2 − n3 , (b) an = 1 n sin 2nπ 3 , (c) an = 1 n +...

Zestaw 8 1. Zapisa¢ wedªug Heinego i Cauchy'ego nast¦puj¡ce denicje a) lim x→x0 f (x) = −∞, b) lim x→+∞ f (x) = −∞, c) lim x→−∞ f (x) = g, d) lim x→x + 0 f (x) = p, e) lim x→x − 0 f (x) = +∞. Zilustrowa¢ poszczególne przypadki wykresami stosownych funkcji. 2. Obliczy¢ granice: a) lim x→−∞ (−2x3 + 5...

Zestaw 9 1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne funkcji: a) f (x) = x cos x, b) g (x) = sin2 3x. 2. Dana jest funkcja f : R x → x4 − 2x3 + 1 ∈ R. Stosuj¡c denicj¦ wykaza¢, »e f jest ró»niczkowalna w dowolnym punkcie x ∈ R. 3. Obliczy¢ pochodne funkcji okre±lonych wzorami: a) f (x) = 1 4 x 5 √ x...

Zestaw 10 1. Nie obliczaj¡c pochodnej funkcji okre±lonej wzorem W (x) = (x + 2) (x + 1) x (x − 3) . Wykaza¢, »e równanie W (x) = 0 ma dokªadnie 3 pierwiastki. Znale¹¢ przedziaªy, w których one si¦ znajduj¡. 2. Sprawdzi¢, »e funkcja f (x) = arctg x, 0 ≤ x ≤ 1, speªnia zaªo»enia tw. Lagrange'a oraz w...

Zestaw 11 1. Obliczyć całki nieoznaczone: a) √ x + 3 3 √ x2 − 1 4 √ x dx, b) x2dx √ x3 + 1 , c) x 3e−x 2 dx, d) x 3 ln 1 + x4 dx, e) ctg(2x) dx, f) th 2x dx, g) cos x 1 + 4 sin 2 x dx, h) x7 1 + x8 dx, i) cos (ln x) dx. 2. Obliczyć całki funk...

Zestaw 12 1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć π 2 0 sin x dx. Wsk. Skorzystać ze wzoru: sinx + sin 2x + ... + sin nx = sin nx 2 · sin (n+1)x 2 sin x 2 . 2. Korzystając z całki oznaczonej stosownej funkcji obliczyć granicę l...

Zestaw zada ń  z analizy matematycznej dla  IM 10. Całkowanie (całki nieoznaczone I)        1. Obliczy ć  podane całki nieoznaczone  a)  ∫ − dx x x x 3 2 ;  b)  ∫ dx x 4 3 ;  c)  ∫ xdx 2 ctg ;  d)  ∫ − − dx e e x x 1 1 3 ;  e)  ∫ dx x 2 sin 2 ;  f)  ∫ dx x x x ;  g)  ∫ + dx x x 1 2 4 . 2. Korzystaj...

Analiza matematyczna - Zadania ćwiczeniowe z rozwiązaniami (pochodne funkcji jednej zmiennej)   Lp.   Zadania.  Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji.  Rozwiązania  1.        2.        3.        4.        5.        6.        7.    ...

Zadanie 1 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji Wyznaczyć elastyczności cząstkowe funkcji f w punkcie (0,1) i podać ich interpretacje. Podać kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie (0,1) . Podać obszar, w którym funkcja rośnie coraz szy...

Algebra liniowa 1. Podaj definicję iloczynu skalarnego wektorów Iloczyn skalarny wektorów i jest liczbą określoną następująco: Jak widać  2. Kiedy wektory są ortogonalne? Zakładając, że to wektory, jeśli  , to mówimy, że wektory są orto...