Matematyka - zestaw 9

Zestaw 9 1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne funkcji: a) f (x) = x cos x, b) g (x) = sin2 3x. 2. Dana jest funkcja f : R x → x4 − 2x3 + 1 ∈ R. Stosuj¡c denicj¦ wykaza¢, »e f jest ró»niczkowalna w dowolnym punkcie x ∈ R. 3. Obliczy¢ pochodne funkcji okre±lonych wzorami: a) f (x) = 1 4 x 5 √ x3 + sin3 5x · cos2 x 3 , b) g (t) = (2t − 1) · √ t3 · 3 √ 3t − 5, c) h (t) = arcsin (1 − t) + √ 2t − t2, d) u (x) = ln tg x 2 + 1 a arctg x a (a = 0), e) φ (x) = 1 3 ln |1 + x| − 1 6 ln x 2 − x + 1 + 1 √ 3 arctg 2x−1 √ 3 , f) I (x) = ln x + √ x2 + a + c, gdzie a = 0, c = const, g) γ (x) = 1 + 1 x x , h) ω (t) = (cos t) sin t , i) u (t, x) = 1 2a √ πt exp − (x−b) 2 4a2t (a, b, x − staªe) . 4. Znale¹¢ pr¦dko±¢ i przyspieszenie ruchu okre±lonego równaniem x (t) = Ae −kt sin ωt (A  0, k  0, ω  0) 5. Napisa¢ równaie stycznej oraz równanie normalnej do krzywej o równaniu y = ln sin x w punkcie o odci¦tej x0 = π 4 . 6. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ nast¦puj¡cych funkcji: a) f (x) = 3 √ x − 1, b) g (x) = 3 (x + 1) 2, c) h (x) = |cos x| , d) φ (x) = |x + 3| + |x + 1| + |2x − π| , e) u (t) = arcsin (sin t) , f) v (t) = t3 . 7. Niech f (x) =      x2 dla x ≤ x0 ax + b dla x  x0 Jak dobra¢ wspóªczynniki a i b, aby funkcja f byªa ci¡gªa i ró»niczkowalna w punkcie x0? 8. Zbada¢, czy funkcja f (x) =      x2 sin 1 x dla x = 0 0 dla x = 0 jest klasy C1 w R. ... zobacz całą notatkę