Matematyka - zestaw 10

Zestaw 10 1. Nie obliczaj¡c pochodnej funkcji okre±lonej wzorem W (x) = (x + 2) (x + 1) x (x − 3) . Wykaza¢, »e równanie W (x) = 0 ma dokªadnie 3 pierwiastki. Znale¹¢ przedziaªy, w których one si¦ znajduj¡. 2. Sprawdzi¢, »e funkcja f (x) = arctg x, 0 ≤ x ≤ 1, speªnia zaªo»enia tw. Lagrange'a oraz wyznaczy¢ liczb¦ c wyst¦puj¡c¡ w tezie tego twierdzenia. 3. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji okre±lonych wzorami: a) f (x) = x ln x, b) g (x) = x2e−x2, c) h (x) = x √ ax − x2 (a  0) . 4. Napisa¢ wzór Taylora (przy n = 4) dla f (x) = x (x − 1) −1 w punkcie x 0 = 2 . 5. Napisa¢ wzór Maclaurina dla funkcji f (x) = xex. 6. Wykaza¢ prawdziwo±¢ nierówno±ci: a) 2 √ x  3 − 1 x , (x  1) , b) ln (x + 1)  0) c) 2x arctg x ≥ ln (1 + x2) , x ∈ R. 7. Znale¹¢ ekstrema funkcji okre±lonych wzorami: a) f (x) = x4 (x + 1) −3 , b) g (x) = ln 2 x x , c) h (x) = 3 √ x2e−x. 8. Znale¹¢ najmniejsze i najwi¦ksze warto±ci funkcji w podanych przedziaªach: a) f (x) = x4 − 2x2 + 5, x ∈ −2, 2 b) g (x) = arctg 1−x 1+x , x ∈ 0, 1 . 9. W elips¦ x 2 a2 + y2 b2 = 1 wpisa¢ prostok¡t o najwi¦kszym polu. 10. Wyznaczy¢ przedziaªy wypukªo±ci (ku górze i ku doªowi) funkcji: a) f (x) = x 3 x2−1 , b) g (x) = x2e−x, c) h (x) = (x − 1) exp 1 x−1 . 11. Znale¹¢ punkty przegi¦cia krzywych o równaniach: a) f (x) = (x3 + 1) (x3 − 1) −1 , b) g (x) = x 2 3 e−x, c) h (x) = esinx, x ∈ 0, π 2 . 12. Obliczy¢ granice (o ile istniej¡): a) lim x→−∞ e 1 x −1 arcctg x−π , b) lim x→0+ x x2 , c) lim x→0 arcsin x x 1 x2 , d) lim x→∞ xn ex , e) lim x→0 1 sin2 x − 1 x2 , f) lim x→∞ tg πx 2x+1 1 x , g) lim x→0 (1+x) 1 x −e x , h) lim x→0 x2 sin 1 x sin 2x , i) lim x→∞ 1+x+sin x·cos x (x+sin x·cos x)esin x . 13. wyznaczy¢ wszystkie asymptoty wykresów funkcji okre±lonych wzorami: a) f (x) = xe 1 x , b) g (x) = 2x + arctg x 2 + π 2 , c) h (x) = x 1 + 1 x x , (x  0) . 14. Zbada¢ przebieg i narysowa¢ wykresy funkcji: a) f (x) = x 2 3 e−x, b) g (x) = arcsin cos x − π 4 , c) h (x) = ln sinh x. 15. Wykaza¢ prawdziwo±¢ wzoru: d n dxn xn−1e 1 x = (−1) n x−n−1e 1 x , n ∈ N. ... zobacz całą notatkę