Matematyka - zestaw 12

Zestaw 12 1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć π 2 0 sin x dx. Wsk. Skorzystać ze wzoru: sinx + sin 2x + ... + sin nx = sin nx 2 · sin (n+1)x 2 sin x 2 . 2. Korzystając z całki oznaczonej stosownej funkcji obliczyć granicę lim n→∞ 1 n + 1 + 1 n + 2 + ... + 1 2n . 3. Wykazać, że jeżeli f jest funkcją ciągłą w przedziale 0, 1 , to π 2 0 f (sin x) dx = π 2 0 f (cos x) dx. 4. Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi o równaniach: a) y2 = 2px, x2 = 2py (p  0) , b) x2 + y2 = 16, x2 = 6y y ≥ 1 6 x 2 , c) x (t) = cos5 t, y (t) = sin5 t, 0 ≤ t ≤ 2π, d) r (φ) = a (1 + cos φ) , a  0, φ ∈ 0, 2π . W zadaniu c) wykorzystać wzór: π 2 0 (sin x) 2k dx = 1·3·5·...·(2k−1) 2·4·6·...·(2k) · π 2 (k ∈ N) . 5. Obliczyć objętości brył powstałych przez obrót dookoła osi Ox krzywych o równaniach: a) f (x) = x2 − 3x + 2 − 1 2 , 3 ≤ x ≤ 4, b) f (x) = arcsin x, x ∈ 0, 1 . 6. Obliczyć długości łuków krzywych o równaniach: a) x (t) = a · cos 3 t, y (y) = a · sin 3 t, t ∈ 0, 2π , a  0, b) y = √ x − x2 + arcsin √ x, 0 ≤ x ≤ 1. 7. Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej o równaniu: x2 + (y − b) 2 = a2 (0  ... zobacz całą notatkę