Całki oznaczone-opracowanie

Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Całki oznaczone
1
Całki oznaczone.
Równanie krzywej
y = f (x),
a
x
b
β
b
S=
Pole figury płaskiej ograniczonej krzywą i odpowiednimi
odcinkami
α
β
b
l=
|y(t)x (t)| dt
S=
f (x) dx
a
Długość łuku krzywej
1 + [f
(x)]2 dx
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt
l=
α
a
β
b
2
V =π
Objętość bryły obrotowej,
powstałej przez obrót krzywej
dookoła osi Ox
α
β
b
1 + [f (x)]2 dx
|f (x)|
P = 2π
y 2 (t)|x (t)|dt
V =π
f (x) dx
a
Pole powierzchni bocznej
bryły obrotowej, powstałej
przez obrót krzywej dookoła
osi Ox
t ∈ α, β
x = x(t), y = y(t),
|y(t)|
P = 2π
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt
α
a
1. Policzyć całki:
1/2
a)
0
e
1
√
dx
1 − x2
b)
2π
ln2 x
dx
x
x |cos x| dx
c)
1
2
x2 sin x dx
d)
−2
0
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego:
a) krzywą
y 2 = x2 − x4
x(t) = r(t − sin t)
y(t) = r(1 − cos t)
b) cykloidą
t ∈ 0, 2π
3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) y = 4 − x2
i y = x2 − 2x
b) y = x2
i
x = y2
c) x = y 2
i y =x−2
4. Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = −x2 + 4x − 3 i stycznymi do niej w punktach A(0, −3) i
B(3, 0).
5. Obliczyć długość łuku krzywej:
a) y = 2ex/2
d) y = ln x
0
√
x
√
b) y = x x
ln 2
3≤x≤
√
8
0
x

 x(t) = et sin t
c)
 y(t) = et cos t
4
e) cykloidy z zad. 2b.
f ) y = tg x
6. Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:
a) y = tg x
0 ≤ x ≤ 1π
4
c) y = arc sin x
0
x
b) y = ln x
1
1
x
e
d) cykloidy z zad. 2b.
7. Policzyć pole powierzchni, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:
√
a) y = x + 2 0 x 4

 x(t) = 2 cos t − cos 2t
c)
 y(t) = 2 sin t − sin 2t
b) y = tg x
0
t
π
0 ≤ x ≤ 1π
4
d) cykloidy z zad. 2b.
0
0 ≤ x ≤ 1π
4
t
π/2
... zobacz całą notatkę