Zestaw 1 1. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = x − y x + y istnieją granice iterowane w (0, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(0,0) f (x, y) . 2. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = (x − 1) y2 (x − 1) 2 + y4 istnieją granice iterowane w (1, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(1,0) f (x, y) . 3. Pokazać, że istnieje lim (x,y)→(2,1) (x − 2y) sin 1 x − 2 sin 1 y − 1 , natomiast nie istnieją granice ite- rowane. 4. Korzystając z definicji wyznaczyć ∂f ∂x (x, y) i ∂f ∂y (x, y) dla funkcji danej wzorem f (x, y) = x2 + y2. Czy istnieją ∂f ∂x (0, 0) i ∂f ∂y (0, 0). 5. Pokazać, że funkcja f : R 2 → R, zadana wzorem f (x, y) = xy x2−y2 x2+y2 dla (x, y) = (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0) ma w punkcie (0, 0) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu (tzn. ∂2f ∂x∂y (0, 0) oraz ∂2f ∂y∂x (0, 0)), ale pochodne te nie są identyczne. 6. Podać wzory wszystkich pochodnych cząstkowych I-go i II-go rzędu dla funkcji danej wzorem: (a) f (x, y) = ex 2+y2−x, (b) f (x, y) = ln (x2 − y2), (d) f (r, ϕ) = r cos ϕ, (e) f (s, t, u, v) = u v arctg √ 3s + 2t, (c) f (u, v, t) = t arcsin √ uv, (f) f (x, y, z) = 1 x + 2y + 1 2y + 3z . 7. Podać macierze Jacobiego dla funkcji danych wzorami: (a) f (x, y, z) = [a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z, a3x + b3y + c3z], (b) f (x, y) = xy, x y , (c) f(t) = t, t2, √ t , (d) f (x, y, z) = exy−y arccos z, (e) f (x, y) = x y2 . 8. Dla funkcji z zadania 6 podać macierze Jacobiego oraz macierze drugich pochodnych cząst- kowych. 1 9. Korzystając z faktu: Jeśli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie (x1, ... , xn), zaś f jest różniczkowalna w punk- cie g (x1, ... , xn) to funkcja f ◦ g jest różniczkowalna w punkcie (x1, ... , xn) a jej macierz Jacobiego wyraża wzór: (f ◦ g) (x1, ... , xn) = f [g (x1, ... , xn)] · g (x1, ... , xn) Wyznaczyć macierze Jacobiego dla odwzorowań złożonych: (a) f ◦ g (1, 2) jeśli: g (x, y) = y x , f (t) = arctg t, (b) f ◦ g (2, 4) jeśli: g (x, y) = 2x + y2, f (u, v) = uv, u v . 10. Wyznaczyć różniczki: (a) d(1,2)f (h1, h2) oraz d 2 (1,2)f (h1, h2) dla funkcji f (x, y) = ln (y − x), (b) d(1,2,0)f (h1, h2, h3) oraz d 2 (1,2,0)f (h1, h2, h3) dla funkcji f (x, y, z) = xy e y+2z . 11. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: (a) 5, 012 − 3, 982, (b) e1,99 2−2,022 , (c)
(…)
… (h1 , h2 ) dla funkcji f (x, y) = ln (y − x),
(1,2)
y+2z
(b) d(1,2,0) f (h1 , h2 , h3 ) oraz d2
.
(1,2,0) f (h1 , h2 , h3 ) dla funkcji f (x, y, z) = xy e
11. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
(a)
5, 012 − 3, 982 ,
2 −2,022
(b) e1,99
,
(c) 0, 971,01 .
12. Podać równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni:
(a) z = xy w punkcie P = (2, 1, 2),
(b) x2 + 4y 2 + z 2 = 25…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)