Różniczka założenia dwóch odwzorowań- wykład 12

Nasza ocena:

5
Pobrań: 70
Wyświetleń: 770
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Różniczka założenia dwóch odwzorowań- wykład 12 - strona 1 Różniczka założenia dwóch odwzorowań- wykład 12 - strona 2 Różniczka założenia dwóch odwzorowań- wykład 12 - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 12
TWIERDZENIE 12.1 (RÓŻNICZKA ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)
Z: - przestrzenie Banacha
- suriekcja
- odwzorowanie
x różniczkowalna w x różniczkowalna w u x )
T: różniczkowalna w x i zachodzi wzór:
( | ) ozn. - złożenie dwóch odwzorowań
(bez dowodu)
Rozpatrujemy następujące odwzorowanie
Niech:
(wektorowi h przyporządkowuje jego i-tą współrzędną, odwzorowanie liniowe, (forma liniowa))
Korzystając z wniosku 11.2 otrzymujemy:
Są spełnione założenia wniosku 11.2, zatem:
(kombinacja liniowa odwzorowań)
Wartość kombinacji liniowej odwzorowań na wektorze h Postać kanoniczna różniczki - różniczka zupełna - i-ta projekcja WNIOSEK 12.1 (POSTAĆ MACIERZOWA RÓŻNICZKI)
Z: - obszar
Ustalamy różniczkowalana w T: Dowód:
Z wniosku 11.2 wynika, że:
= = DEFINICJA 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO)
Macierz:
- macierz Jacobiego odwzorowania f
UWAGA!
jest macierzą takiego odwzorowania i lub używając postaci kanonicznej
lub DEFINICJA 12.2 (JACOBIAN ODWZOROWANIA) obszar
J - (jacobian)
J - wyznacznik macierzy Jacobiego
WNIOSEK 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)
Z: różniczkowalna w różniczkowalna w T: Dowód:
Korzystając z twierdzenia 12.1 oraz faktu, że macierz złożenia 2-ch odwzorowań jest równa iloczynowi macierzy tych odwzorowań, otrzymujemy:
gdzie jest macierzą Jacobiego złożenia

(…)

… macierzy tych odwzorowań, otrzymujemy:
gdzie jest macierzą Jacobiego złożenia
Dwa odwzorowania są sobie równe, gdy macierze tych odwzorowań są takie same, zatem PRZYKŁAD 12.1 (*)
Uzasadnienie:
Po porównaniu odpowiednich wartości otrzymujemy równania (*).
DEFINICJA 12.3 (POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW)
przestrzeń Banacha
-określona w pewnym - określona w UWAGA!
Na ogół: DEFINICJA 12.4 (RÓŻNICZKI…
… różniczkowy na Jeżeli to również
PRZYKŁAD 12.4 Obliczyć gdzie (*) jest formą kwadratową
(*) = ( Nasza forma kwadratowa dla dowolnych wartości przyjmuje wartości dodatnie)
- druga różniczka jest formą kwadratową określoną dodatnio.
Dygresja:
Takie odwzorowanie nazywamy formą kwadratową
przy czym ; macierz formy kwadratowej
Macierz symetryczna względem głównej przekątnej.
Dla macierzy M utworzymy minory główne…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz