To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 11
OBLICZANIE GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Niech będzie dana funkcja: Będziemy badać granicę: Do punktu na płaszczyźnie można zmierzać po dowolnej krzywej kończącej się w punkcie (x0, y0).
y
(x0, y0)
x
Jeżeli wprowadzimy współrzędne biegunowe to zauważymy, że: UWAGA:
Jeżeli dla każdej drogi istnieje granica i jest zawsze taka sama (=g), to wtedy funkcja posiada granicę.
Jeżeli dla dwóch różnych dróg wartości granic są różne, to funkcja granicy nie posiada.
PRZYKŁAD 11.1 Obliczmy granice:
1°
Jeżeli mamy iloraz dwóch wielomianów warto spróbować wprowadzić współrzędne biegunowe. Ta granica nie istnieje, bo jej wartość zależy od φ, a więc od drogi.
2° 3° Dobierzmy krzywą, tak aby , a w mianowniku zredukowała się suma x4+y2 Niech y=x2, wtedy granica 3° wyniesie: Ta granica nie istnieje ponieważ znaleźliśmy drogę (Por. Uwaga 2), dla której wartość granicy jest różna od wartości granicy dla innych dróg.
4° Zmierzamy po krzywej y=x2 - to nie jest kontrprzykład, więc granica 4° może istnieć. Spróbujemy oszacować naszą funkcję: Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach wartość granicy 4° jest równa 0.
UWAGA: Wszystkie sposoby, które stosowaliśmy do funkcji jednej zmiennej (za wyjątkiem reguły de l'Hospitala) stosujemy do funkcji dwóch zmiennych.
GRANICE ITEROWANE
lub UWAGA:
Może się zdarzyć, że:
Istnieje i nie istnieją granice iterowane.
Istnieją granice iterowane i nie istnieje .
Jeżeli istnieją granice iterowane i są one różne to możemy wyciągnąć wniosek, że granica nie istnieje.
PRZYKŁAD 11.2
1° 2° Niech będą dane X, Y - przestrzenie Banacha nad DEFINICJA 11.1 (OBSZAR) Powiemy, że Niech - odwzorowanie
DEFINICJA 11.2 (POCHODNA KIERUNKOWA)
Niech takim, że
(…)
… odpowiadający wektorowi przyrostu h. x0 - ustalone h- zmienne Jeżeli , to powiemy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz - nazwiemy różniczką funkcji w punkcie x0 i oznaczamy ją df (x0)
UWAGA: - przestrzeń odwzorowań liniowych i ciągłych Różniczka w punkcie jest to odwzorowanie liniowe i ciągłe.
PRZYKŁAD 11.4
Zbadać różniczkowalność funkcji i określić różniczkę
Badamy granicę: Funkcja jest różniczkowalna…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)