Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 553
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej - omówienie - strona 1 Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech
Y , .  - przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa R
n
nad ciałem K)
f : K  Y , a  Y (element w przestrzeni Banacha)
x0  D f ' D f (pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
Funkcja f ma pochodną (różniczkę) w punkcie x0 równą a, a  Y , jeśli:
f  x0  h   f  x0   ah  oh 
dla
x0  h  D f
po podzieleniu przez h wyrażenie o(h)
musi dążyć do zera, gdy h  0
lub równoważnie
f x0  h   f x0   ah  o h 
Oznaczenie: a  f '  x0   d x0 f
pochodna
różniczka
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
f  x0  h   f x0 
f x0  h   f  x0 
f '  x0    lim
 lim
 f '  x0 
h 0
h 0
h
h
Dowód
f '  x0  

f  x0  h   f  x0   ah
0 
h 0
h
f  x0  h   f  x0 
f  x0  h   f  x0 
 a  0  lim
a
h 0
h 0
h
h
f  x0  h   f  x0   ah  oh  
‫ڤ‬
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
f  D( x0 )  f  C ( x0 ) .
1
Interpretacja pochodnej
Element a  f ' ( x0 ) , występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:
1. f '  x0   Y (traktujemy jako element przetrzeni Banacha)
2. f '  x0  traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe
f ' x0  : K ∋ h  a  h  Y
Zatem f '  x0 h   f '  x0 h jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.
Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką d x0 f .
Różniczka (lub pochodna) odwzorowania f w punkcie x0 jest to odwzorowanie liniowe i
ciągłe d x0 f  f ' ( x0 ) przybliżające różnicę funkcji f  x0  h   f  x0  z dokładnością do oh  .
y=f(x)
y
y0
y – y0= f ' (x0)(x-x0)
równanie stycznej do funkcji f w punkcie (x0,y0)
x0
x
Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.
opracował Mateusz Targosz
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz