To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech
Y , . - przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa R
n
nad ciałem K)
f : K Y , a Y (element w przestrzeni Banacha)
x0 D f ' D f (pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
Funkcja f ma pochodną (różniczkę) w punkcie x0 równą a, a Y , jeśli:
f x0 h f x0 ah oh
dla
x0 h D f
po podzieleniu przez h wyrażenie o(h)
musi dążyć do zera, gdy h 0
lub równoważnie
f x0 h f x0 ah o h
Oznaczenie: a f ' x0 d x0 f
pochodna
różniczka
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
f x0 h f x0
f x0 h f x0
f ' x0 lim
lim
f ' x0
h 0
h 0
h
h
Dowód
f ' x0
f x0 h f x0 ah
0
h 0
h
f x0 h f x0
f x0 h f x0
a 0 lim
a
h 0
h 0
h
h
f x0 h f x0 ah oh
ڤ
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
f D( x0 ) f C ( x0 ) .
1
Interpretacja pochodnej
Element a f ' ( x0 ) , występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:
1. f ' x0 Y (traktujemy jako element przetrzeni Banacha)
2. f ' x0 traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe
f ' x0 : K ∋ h a h Y
Zatem f ' x0 h f ' x0 h jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.
Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką d x0 f .
Różniczka (lub pochodna) odwzorowania f w punkcie x0 jest to odwzorowanie liniowe i
ciągłe d x0 f f ' ( x0 ) przybliżające różnicę funkcji f x0 h f x0 z dokładnością do oh .
y=f(x)
y
y0
y – y0= f ' (x0)(x-x0)
równanie stycznej do funkcji f w punkcie (x0,y0)
x0
x
Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.
opracował Mateusz Targosz
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)