Funkcje wielu zmiennych

EKSTREMA GLOBALNE Definicja Niech f : U  R , gdzie U  R n oraz niech P0 będzie pewnym punktem zbioru U, P0  U . Wtedy f P0  – wartość największa funkcji f :  P  U f P0  – wartość najmniejsza funkcji f :  P U f P   f P0  f P   f P0  Definicja Funkcja f ma w P0 ek...

EKSTREMA LOKALNE Silne ekstrema lokalne Definicja Niech X – przestrzeń topologiczna, f : X  R, x0  X . z def . 1° f ma w x0 silne minimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *  istnieje takie sąsiedztwo punktu x0 z def . 2° f ma w x0 silne maksimum lokalne...

FUNKCJE UWIKŁANE Niech F : R  R Rozważamy równanie 2 F  x, y   0 . Definicja Jeśli istnieje funkcja y  f  x  , spełniająca w każdym punkcie x  X  R warunek F x, f ( x)   0 , to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X równaniem F  x, y   0 . Przykład 2 2 Rozważm...

METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji. Definicja (Heinego) Niech (X,d) – przestrzeń metryczna Y – przestrzeń topologiczna f : X Y, g  Y – element...

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ Niech K  R, U  TopR n , f : U  R, x0  U , f  D x0 , tzn. funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0. Rozważmy wykres funkcji f, tzn. zbiór    x, f  x , x  U   R n 1 i hip...

MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK Niech U  TopR n , f : U  R, x0  U oraz załóżmy, że  d x20 f . Wtedy 2 f d f (h , h )   ( x0 )hi1h 2 j i , j 1 xi x j i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce d x20 f odpowiada macierz 2 x0 1 n 2 2  2 f  x0   ...

MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI 1. Niech U  TopR n , f :U  R oraz niech f  D x0  dla x0  R n . Ponieważ różniczka d x0 f : R n  R jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie kanonicznej e1, ..., en macierz różniczki można zapisać w postac...

POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie jednowymiarowej) Niech Y , .  - przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa R n nad ciał...

POCHODNA KIERUNKOWA Załóżmy, że dimX 1. z z = f(x,y) f ( P0 ) f[l] → → v → l P0 l||v i P0 єl y U x Definicja Niech  X , . , Y , .  - przestrzenie unorm...

POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW Niech X  K n , Y ,    przestrzeń unormowana nad K, U  TopK n , f :U  Y , x0  U . Definicja Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu pierws...