Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 868
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - omówienie - strona 1 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - omówienie - strona 2 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech X  K n ,
Y ,    przestrzeń unormowana nad K,
U  TopK n ,
f :U  Y ,
x0  U .
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego



2 f
x0  :    f  x0 , gdzie k , j  1,..., n
 x 
x j xk
 x j  k 


(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k–1 -szego. Wtedy definiujemy pochodne
cząstkowe rzędu k-tego:

k f
x0  :  
xi1 ...xik
 xi1

  k 1 f

 xi ...xi
k
 2

  x0 , gdzie i1 , i2 ,..., ik  {1,..., n}


Oznaczenia
ozn.
k f
x0   f xik xik 1 ...xi1 x0 
xi1 ...xik
ozn. k
k f
x0    kf x0 
x ...xi
xi
i 
 
k razy
Twierdzenie (o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej)
Zał:  d xk0 f - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie x0
Teza:  pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie x0
oraz
k f
x0   d xk0 f ei1 ,..., eik , gdzie i1 ,..., ik {1,..., n},
xi1 ...xik
e1 ,..., en  baza kanoniczna K n .
wartość różniczki


k-tego rzędu w
punkcie x 0 dla
wektorów bazowych
1
Twierdzenie (o istnieniu k-tej różniczki)
Zał: U  TopR n ,
f :U  R
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu funkcji f w U.
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to
f Ck
oraz
k f
x  hi11  hi22  ...  hikk , gdzie x U ,
xi1 ...xik
i1,...,ik 1
h j  h1j ,..., hnj  R n dla j  1,..., k ,
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k-tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z R n .

 
d xk f h1 ,..., h k 
n


Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)
Zał: U  TopR n ,
f : U  R,
x0  U .
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x0 , to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie x0
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
 d xk0 f   P, P  permutacja k  elementowa :
k
k f
x0    f
x0 
xi1 ...xik
xiP 1 ...xiP  k 
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x0 , to
 P, P  permutacja k  elementowa :
k
k f
x0    f
x0 
xi1 ...xik
xiP 1 ...xiP  k 
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.
2
Przykład
3
2
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji f  x, y   2 x y  3 xy  1.
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=23=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f yyy  0
f xyy  6
f xxy  12 x
f xxx  12 y
bo
f xyy  f yxy  f yyx
f xxy  f xyx  f yxx .
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz