POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech X K n ,
Y , przestrzeń unormowana nad K,
U TopK n ,
f :U Y ,
x0 U .
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
2 f
x0 : f x0 , gdzie k , j 1,..., n
x
x j xk
x j k
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k–1 -szego. Wtedy definiujemy pochodne
cząstkowe rzędu k-tego:
k f
x0 :
xi1 ...xik
xi1
k 1 f
xi ...xi
k
2
x0 , gdzie i1 , i2 ,..., ik {1,..., n}
Oznaczenia
ozn.
k f
x0 f xik xik 1 ...xi1 x0
xi1 ...xik
ozn. k
k f
x0 kf x0
x ...xi
xi
i
k razy
Twierdzenie (o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej)
Zał: d xk0 f - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie x0
Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie x0
oraz
k f
x0 d xk0 f ei1 ,..., eik , gdzie i1 ,..., ik {1,..., n},
xi1 ...xik
e1 ,..., en baza kanoniczna K n .
wartość różniczki
k-tego rzędu w
punkcie x 0 dla
wektorów bazowych
1
Twierdzenie (o istnieniu k-tej różniczki)
Zał: U TopR n ,
f :U R
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu funkcji f w U.
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to
f Ck
oraz
k f
x hi11 hi22 ... hikk , gdzie x U ,
xi1 ...xik
i1,...,ik 1
h j h1j ,..., hnj R n dla j 1,..., k ,
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k-tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z R n .
d xk f h1 ,..., h k
n
Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)
Zał: U TopR n ,
f : U R,
x0 U .
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x0 , to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie x0
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
d xk0 f P, P permutacja k elementowa :
k
k f
x0 f
x0
xi1 ...xik
xiP 1 ...xiP k
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x0 , to
P, P permutacja k elementowa :
k
k f
x0 f
x0
xi1 ...xik
xiP 1 ...xiP k
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.
2
Przykład
3
2
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji f x, y 2 x y 3 xy 1.
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=23=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f yyy 0
f xyy 6
f xxy 12 x
f xxx 12 y
bo
f xyy f yxy f yyx
f xxy f xyx f yxx .
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)