ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE
Definicja
Niech X, Y – przestrzenie wektorowe nad ciałem K,
g : X k Y.
Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną
osobno, tzn:
j 1,..., k : g x1 ,..., x j 1 ,, x j 1 ,..., xk L X , Y , gdzie x1 ,..., x j 1 , x j 1 ,..., xk X
↑
tylko w tym miejscu
jest zmienna
Oznaczenie
Zbiór odwozrowań k-liniowych oznaczamy Lk X ,Y .
Twierdzenie
Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiędzy
klasami L X , Lk ( X , Y ) i Lk 1 X , Y ,
L X , L X , Y ~ L X , Y ,
k
izomorfizm
k 1
Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobą utożsamiać.
RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech X , , Y , przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U TopX ,
f :U Y ,
f DU .
Wtedy istnieje funkcja pochodna f ' ,
f ': U x f ' x : d x f L X , Y
Definicja
Drugą różniczką odwozorowania f w punkcie x0 U nazywamy różniczkę pochodnej f ' w
2
punkcie x0 i oznaczamy d x f ,
0
2
d x0 f : d x0 f '.
Oczywiście różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym
d x20 f L X , L X , Y ~
z tw.
X ,
L
Y
2
klasa odwzorowań
dwuliniowych
Zatem drugą różniczkę odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym,
d x20 f L2 X , Y
1
Jeśli
x0 U d x20 f ,
to można utworzyć odwozorowanie f'' ,
2
f ' ': U x f ' ' ( x ) : d x f L2 X , Y ,
które nazywamy drugą pochodną funkcji f.
Załóżmy, że określimy k-tą różniczkę funkcji f w punkcie x0 U .
Niech
x0 U d xk0 f L X , Lk 1 ( X , Y ) ~ Lk X , Y
Wtedy k-tą pochodną funkcji f nazywamy odwzorowanie:
f k : U x f k ( x) : d x f L X , Lk 1 X , Y ~ Lk X , Y
możemy utożsamiać te klasy
ponieważ zachodzi izomorfizm
k
k+1-szą różniczką odwzorowania f w punkcie x0 U nazywamy różniczkę k-tej pochodnej w
punkcie x0 (o ile istnieje) i oznaczamy d xk01 f ,
d xk01 f : d x0 f k L X , Lk X , Y ~ Lk 1 ( X , Y )
różniczka k-tej pochodnej
w punkcie x0
opracował Marcin Uszko
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)