Różniczki wyższych rzędów - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 644
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Różniczki wyższych rzędów - omówienie - strona 1 Różniczki wyższych rzędów - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE
Definicja
Niech X, Y – przestrzenie wektorowe nad ciałem K,
g : X k  Y.
Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną
osobno, tzn:
 j  1,..., k : g x1 ,..., x j 1 ,, x j 1 ,..., xk  L  X , Y  , gdzie x1 ,..., x j 1 , x j 1 ,..., xk  X

tylko w tym miejscu
jest zmienna
Oznaczenie
Zbiór odwozrowań k-liniowych oznaczamy Lk  X ,Y .
Twierdzenie
Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiędzy
klasami L X , Lk ( X , Y )  i Lk 1  X , Y  ,
L X , L  X , Y  ~ L  X , Y  ,

k

izomorfizm
k 1
Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobą utożsamiać.
RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech  X ,  , Y ,    przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U  TopX ,
f :U Y ,
f  DU .
Wtedy istnieje funkcja pochodna f ' ,
f ': U  x  f '  x  : d x f  L  X , Y 
Definicja
Drugą różniczką odwozorowania f w punkcie x0  U nazywamy różniczkę pochodnej f ' w
2
punkcie x0 i oznaczamy d x f ,
0
2
d x0 f : d x0 f '.
Oczywiście różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym
d x20 f  L  X , L  X , Y  ~


z tw.
 X ,
L 
Y

2
klasa odwzorowań
dwuliniowych
Zatem drugą różniczkę odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym,
d x20 f  L2  X , Y 
1
Jeśli
x0  U d x20 f ,
to można utworzyć odwozorowanie f'' ,
2
f ' ': U  x  f ' ' ( x ) : d x f  L2  X , Y ,
które nazywamy drugą pochodną funkcji f.
Załóżmy, że określimy k-tą różniczkę funkcji f w punkcie x0  U .
Niech
 x0  U  d xk0 f  L  X , Lk 1 ( X , Y )  ~ Lk  X , Y 

Wtedy k-tą pochodną funkcji f nazywamy odwzorowanie:
f k  : U  x  f k  ( x) : d x f  L X , Lk 1  X , Y  ~ Lk  X , Y 

możemy utożsamiać te klasy
ponieważ zachodzi izomorfizm
k
k+1-szą różniczką odwzorowania f w punkcie x0  U nazywamy różniczkę k-tej pochodnej w
punkcie x0 (o ile istnieje) i oznaczamy d xk01 f ,
d xk01 f : d x0 f  k   L X , Lk  X , Y  ~ Lk 1 ( X , Y )

różniczka k-tej pochodnej
w punkcie x0
opracował Marcin Uszko
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz