Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Nasza ocena:

5
Pobrań: 35
Wyświetleń: 5082
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - strona 1 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - strona 2 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów - strona 3

Fragment notatki:

Opracowanie tematu pochodne cząstkowe wyższych rzędów. 4 strony w formacie pdf, wzory, objaśnienia, definicje, przykłady. Zagadnienia pojawiające się w notatce: przestrzeń uformowana, pochodne cząstkowe drugiego rzędu, pochodne cząstkowe k-tego rzędu, twierdzenie o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej, twierdzenie o istnieniu k-tej różniczki, twierdzenie o równości pochodnych mieszanych.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

(…)

…)
Zał:  d xk0 f - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie x0
Teza:  pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie x0
oraz
k f
x0   d xk0 f ei1 ,..., eik , gdzie i1 ,..., ik {1,..., n},
xi1 ...xik
e1 ,..., en  baza kanoniczna K n .
wartość różniczki


k-tego rzędu w
punkcie x 0 dla
wektorów bazowych
1
Twierdzenie (o istnieniu k-tej różniczki)
Zał: U  TopR n ,
f :U  R
oraz
istnieją…
… powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.
2
Przykład
3
2
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji f  x, y   2 x y  3 xy  1.
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=23=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f yyy  0…
… przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z R n .

 
d xk f h1 ,..., h k 
n


Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)
Zał: U  TopR n ,
f : U  R,
x0  U .
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x0 , to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie x0
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
 d xk0 f   P, P  permutacja k  elementowa :
k
k f
x0    f
x0 
xi1 ...xik…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz