To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Opracowanie tematu pochodne cząstkowe wyższych rzędów. 4 strony w formacie pdf, wzory, objaśnienia, definicje, przykłady. Zagadnienia pojawiające się w notatce: przestrzeń uformowana, pochodne cząstkowe drugiego rzędu, pochodne cząstkowe k-tego rzędu, twierdzenie o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej, twierdzenie o istnieniu k-tej różniczki, twierdzenie o równości pochodnych mieszanych.
(…)
…)
Zał: d xk0 f - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie x0
Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie x0
oraz
k f
x0 d xk0 f ei1 ,..., eik , gdzie i1 ,..., ik {1,..., n},
xi1 ...xik
e1 ,..., en baza kanoniczna K n .
wartość różniczki
k-tego rzędu w
punkcie x 0 dla
wektorów bazowych
1
Twierdzenie (o istnieniu k-tej różniczki)
Zał: U TopR n ,
f :U R
oraz
istnieją…
… powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.
2
Przykład
3
2
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji f x, y 2 x y 3 xy 1.
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=23=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f yyy 0…
… przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z R n .
d xk f h1 ,..., h k
n
Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)
Zał: U TopR n ,
f : U R,
x0 U .
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x0 , to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie x0
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
d xk0 f P, P permutacja k elementowa :
k
k f
x0 f
x0
xi1 ...xik…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)