Macierzowy zapis różniczki - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 574
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Macierzowy zapis różniczki - omówienie - strona 1 Macierzowy zapis różniczki - omówienie - strona 2 Macierzowy zapis różniczki - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI
1. Niech U  TopR n ,
f :U  R
oraz niech f  D x0  dla
x0  R n .
Ponieważ różniczka d x0 f : R n  R jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie
kanonicznej e1, ..., en macierz różniczki można zapisać w postaci

    d   xf x 
d f
d f e  ...
f e




x0
x0
macierz
różniczki
1
x0
n

0
1
...

f
x0  : grad x0 f
xn

wartości różniczki na wektorach
bazowych równe kolejnym
pochodnym cząstkowym
Macierz różniczki nazywamy gradientem funkcji f i oznaczamy grad x0 f .
2. Przypadek ogólny
Niech U  TopK n ,
f   f1... f p  : U  K p ,
f i : U  K dla i  1,..., p,
gdzie każde z odwzorowań fi nazywamy składową odwzorowania f.
Np. funkcja f  x1 , x2 , x3    x1 x2 , x1  x2  ma 2 składowe f1 i f2:
f1  x1 , x2 , x3   x1 x2
f 2  x1 , x2 , x3   x1  x2
Macierz różniczki d x0 f :
 f1
 x  x0 
 1
 f 2  x 
0
d x0 f   x1
 

 f p
 x  x0 
 1


f1
x0 
x2
f 2
x0 
x2

f p
x0 
x2
f1
x0 

xn

f 2
x0 


xn




f p
x0 


xn


nazywamy macierzą Jacobiego odwzorowania f w punkcie x0 (j-ta kolumna macierzy
Jacobiego jest kolumną pochodnych cząstkowych odwzorowania f względem zmiennej xj).
Jeśli n=p (macierz jest kwadratowa), to określony jest wyznacznik tej macierzy, który
nazywamy jakobianem,


det d x0 f  J x0

jakobian
1
ZASTOSOWANIE MACIERZY: WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE
ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
Niech U  TopK n ,
V  TopK p ,
f :U  V ,
U
g :V  K s .
K
f
g
V
p
K
K
s
n
Rozpatrzmy złożenie h  g  f , tzn. odwzorowanie h( x)  g ( f ( x )).
Niech x0  U ,
y0  f  x0   V ,
f , g  D x0 .
Wtedy istnieje różniczka złożenia i jest równa złożeniu różniczek,
h

d x0  g  f   d y0 g  d x0 f .
Ponieważ składanie odwzorowań liniowych odpowiada mnożeniu reprezentujących je
macierzy
h1
 h1
  g1  y   g n  y   f1
x0   f1 x0 
0  
 x  x0   x  x0   y 0

y p
xn
n
  x1
 1
  1


  



 
 
 
 hs x   hs  x   g s  y   g s  y   f p  x   f p  x 
0
0
0
  x 0
 x1 0
  y1 0

xn
y p
xn

 

  1
zatem mnożąc k-ty wiersz macierzy [d y0 g ] przez j-tą kolumnę macierzy [d x0 f ] otrzymujemy
WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
p
hk
x0    g k  y0  f i x0 
x j
x j
i 1 yi
2
dla j  1,..., n; k  1,..., s.
Przykład
Niech V  TopR 2 (V - zbiór otwarty w R2),
g : V  R,
g  DV .
Wyznaczyć pochodną funkcji g we współrzędnych biegunowych.
Tworzymy funkcję f, która wprowadza współrzędne biegunowe r ,  
f : [0,)  [0,2 )  r ,    f r ,    r cos  , r sin    R 2
Niech   Top[0,)  [0,2 )  : f U   V .
U
podzbiór
otwarty
Wtedy h  g  f : U  R. Ponadto h  DU .
Aby wyznaczyć macierz złożenia h, wyznaczmy macierze różniczek odwzrowań f i g:
 g

g
g    x, y 
x, y 
y
 x

  r cos    r cos  

r
  cos   r sin  
d r ,  f  

... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz