MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI
1. Niech U TopR n ,
f :U R
oraz niech f D x0 dla
x0 R n .
Ponieważ różniczka d x0 f : R n R jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie
kanonicznej e1, ..., en macierz różniczki można zapisać w postaci
d xf x
d f
d f e ...
f e
x0
x0
macierz
różniczki
1
x0
n
0
1
...
f
x0 : grad x0 f
xn
wartości różniczki na wektorach
bazowych równe kolejnym
pochodnym cząstkowym
Macierz różniczki nazywamy gradientem funkcji f i oznaczamy grad x0 f .
2. Przypadek ogólny
Niech U TopK n ,
f f1... f p : U K p ,
f i : U K dla i 1,..., p,
gdzie każde z odwzorowań fi nazywamy składową odwzorowania f.
Np. funkcja f x1 , x2 , x3 x1 x2 , x1 x2 ma 2 składowe f1 i f2:
f1 x1 , x2 , x3 x1 x2
f 2 x1 , x2 , x3 x1 x2
Macierz różniczki d x0 f :
f1
x x0
1
f 2 x
0
d x0 f x1
f p
x x0
1
f1
x0
x2
f 2
x0
x2
f p
x0
x2
f1
x0
xn
f 2
x0
xn
f p
x0
xn
nazywamy macierzą Jacobiego odwzorowania f w punkcie x0 (j-ta kolumna macierzy
Jacobiego jest kolumną pochodnych cząstkowych odwzorowania f względem zmiennej xj).
Jeśli n=p (macierz jest kwadratowa), to określony jest wyznacznik tej macierzy, który
nazywamy jakobianem,
det d x0 f J x0
jakobian
1
ZASTOSOWANIE MACIERZY: WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE
ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
Niech U TopK n ,
V TopK p ,
f :U V ,
U
g :V K s .
K
f
g
V
p
K
K
s
n
Rozpatrzmy złożenie h g f , tzn. odwzorowanie h( x) g ( f ( x )).
Niech x0 U ,
y0 f x0 V ,
f , g D x0 .
Wtedy istnieje różniczka złożenia i jest równa złożeniu różniczek,
h
d x0 g f d y0 g d x0 f .
Ponieważ składanie odwzorowań liniowych odpowiada mnożeniu reprezentujących je
macierzy
h1
h1
g1 y g n y f1
x0 f1 x0
0
x x0 x x0 y 0
y p
xn
n
x1
1
1
hs x hs x g s y g s y f p x f p x
0
0
0
x 0
x1 0
y1 0
xn
y p
xn
1
zatem mnożąc k-ty wiersz macierzy [d y0 g ] przez j-tą kolumnę macierzy [d x0 f ] otrzymujemy
WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
p
hk
x0 g k y0 f i x0
x j
x j
i 1 yi
2
dla j 1,..., n; k 1,..., s.
Przykład
Niech V TopR 2 (V - zbiór otwarty w R2),
g : V R,
g DV .
Wyznaczyć pochodną funkcji g we współrzędnych biegunowych.
Tworzymy funkcję f, która wprowadza współrzędne biegunowe r ,
f : [0,) [0,2 ) r , f r , r cos , r sin R 2
Niech Top[0,) [0,2 ) : f U V .
U
podzbiór
otwarty
Wtedy h g f : U R. Ponadto h DU .
Aby wyznaczyć macierz złożenia h, wyznaczmy macierze różniczek odwzrowań f i g:
g
g
g x, y
x, y
y
x
r cos r cos
r
cos r sin
d r , f
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)